Curba Peano

O curbă Peano este un nume general pentru curbele parametrice a căror imagine conține un pătrat (sau, mai general, regiuni deschise ale spațiului). Un alt nume este o curbă de umplere a spațiului .

Numit după Giuseppe Peano (1858-1932), descoperitorul acestui gen de curbe, într-un sens special, curba Peano este numele curbei specifice pe care a găsit-o Peano.

Definiție

Intuitiv, o curbă continuă în dimensiunile 2 sau 3 (sau mai mari) poate fi înțeleasă ca traseul parcurs de un punct în mișcare continuă. Pentru a elimina incertitudinea inerentă a acestei înțelegeri, Jordan în 1887 a propus următoarea definiție, care de atunci a fost acceptată ca definiție exactă a unei curbe continue :

O curbă (cu puncte finale) este o mapare continuă al cărei domeniu este segmentul unitar [0, 1].

În forma sa cea mai generală, domeniul unei astfel de mapări se poate afla într-un spațiu topologic arbitrar , dar în majoritatea cazurilor studiate domeniul se află într-un spațiu euclidian , cum ar fi un plan bidimensional ( curbă plană ) sau un plan tridimensional. spațiu dimensional ( curba spațiului ).

Uneori, curba este identificată cu domeniul mapării (setul tuturor valorilor de mapare posibile), și nu cu funcția reală. De asemenea, se poate defini o curbă fără puncte finale ca o funcție continuă pe linia reală (sau pe intervalul deschis (0, 1)).

Istorie

În 1890 , Peano a descoperit o curbă continuă, numită acum curba Peano, care trece prin orice punct al pătratului unității [1] . Scopul său a fost să construiască o mapare continuă de la segmentul unității la pătratul unității . Rezultatul anterior neașteptat al lui Georg Cantor a fost că mulțimea de puncte dintr-un interval unitar are aceeași cardinalitate ca și mulțimea de puncte a oricărei varietăți cu dimensiuni finite , în special, pătratul unității , care a determinat studiul problemei lui Peano . Problema pe care a rezolvat-o Peano a fost întrebarea - poate o astfel de mapare să fie continuă, adică poate o curbă să umple spațiul? Soluția lui Peano nu stabilește o mapare continuă unu -la-unu între intervalul unității și pătratul unității și, în plus, o astfel de mapare nu există (vezi mai jos).

S-a acceptat în general să se asocieze noțiunea nebuloasă de grosime și unidimensionalitate cu o curbă. Toate curbele întâlnite în mod obișnuit erau diferențiabile pe bucăți (adică având derivate continue pe bucăți), iar astfel de curbe nu pot umple întregul pătrat unitar. Astfel, curba Peano care umple spațiul a fost percepută ca fiind contrară bunului simț.

Din exemplul lui Peano, este ușor să derivați curbe continue care umple un hipercub n - dimensional (pentru orice număr întreg pozitiv n ). De asemenea, a fost ușor să extinzi exemplul lui Peano la curbele fără punct de început sau de sfârșit, iar aceste curbe umplu întreg spațiul euclidian n - dimensional (unde n este 2, 3 sau orice alt număr întreg pozitiv).

Cele mai multe dintre curbele binecunoscute de umplere a spațiului sunt construite iterativ ca limită a unei secvențe de curbe continue liniare pe bucăți care se apropie de curba de umplere a spațiului la fiecare pas.

Lucrarea revoluționară a lui Peano nu includea nicio ilustrare a construcției, care a fost definită în termeni de extensii ternare și oglindire . Cu toate acestea, construcția grafică i-a fost clară - a realizat un ornament care reflectă construcția curbei casei sale din Torino. La sfârșitul lucrării, Peano a remarcat că tehnica ar putea fi extinsă la alte baze impare, nu doar la baza 3. Alegerea sa de a evita orice vizualizare grafică a fost, fără îndoială, determinată de dorința de a oferi o dovadă sonoră, perfect riguroasă, care a făcut nu te baza pe niciun desen. La acea vreme (începutul cercetărilor în topologie generală), argumentele grafice erau adesea incluse în demonstrație, dar de multe ori serveau drept obstacol în înțelegerea rezultatelor care contraziceau bunul simț.

Un an mai târziu, David Hilbert a publicat în același jurnal o altă versiune a construcției Peano [2] . Lucrarea lui Hilbert a fost prima care a inclus un desen pentru a ajuta la introducerea tehnicii de construcție. În esență, a fost același desen ca cel prezentat aici. Cu toate acestea, forma analitică a curbei Hilbert este substanțial mai complicată decât cea a lui Peano.

Proprietăți

Fiecare curbă Peano are mai multe puncte .
- Nu există o curbă Peano al cărei punct este simplu sau dublu, dar există o curbă Peano care are cel mult doar puncte triple (într-un număr numărabil). Așa este, de exemplu, curba construită de Peano însuși ; Construcția lui Hilbert de mai jos conține puncte cvadruple (de asemenea, într-un număr numărabil ).
Există curbe Peano care păstrează măsura, adică măsura Lebesgue a unui subset al unui pătrat coincide cu măsura Lebesgue a imaginii sale inverse pe segment. Exemplul lui Hilbert de mai jos are această proprietate.
Conceptul de curbă Peano este legat de faptul curios al existenței unor arce spațiale simple proiectate pe plan sub formă de zone continue - cum ar fi, de exemplu, curba $r(t)=(x(t),y(t),t)$

unde primele două funcții definesc curba Peano. Deși acest arc poate proteja împotriva luminii verticale a soarelui, nu poate proteja împotriva ploii deoarece nu este o suprafață continuă.

Dacă curba nu este injectivă, atunci pot fi găsite două subcurbe care se intersectează ale curbei, obținute ca imagini a două segmente care nu se intersectează în domeniul curbei (adică un segment unitar). Două subcurbe se intersectează dacă intersecția a două imagini nu este goală. Este tentant să credem că curbele se intersectează înseamnă că se intersectează, la fel ca punctul de intersecție a două drepte neparalele, dar două curbe (în cazul nostru, subcurbe) se pot atinge fără să se încrucișeze, ca, de exemplu, o linie tangentă atinge un cerc. .
Pentru curbele clasice de umplere a spațiului Peano și Hilbert la intersecțiile curbelor (în sens tehnic), există contact între curbe fără a le traversa. O curbă de umplere a spațiului poate (în fiecare punct) să aibă auto-intersecții (încrucișări) dacă curba ei de aproximare este auto-încrucișată. Aproximația curbei de umplere a spațiului nu poate conține auto-intersecții, ca în figurile de mai sus. În spațiul 3D, curbele de aproximare fără auto-intersecții pot conține chiar noduri . Curbele de aproximare rămân în interiorul unei regiuni limitate a spațiului n - dimensional, dar lungimea lor crește fără limită.
Curbele de umplere a spațiului sunt un caz special de construcție de fractali . Nu poate exista o curbă diferențiabilă de umplere a spațiului. În linii mari, diferențiabilitatea impune restricții asupra ratei la care curba se învârte.

Integrare

Wiener a subliniat că o curbă de umplere a spațiului ar putea fi utilizată pentru a reduce integrarea Lebesgue în dimensiuni mari la integrarea Lebesgue pe un segment de linie.

Exemple

Construcție analitică [3] .

Luați în considerare funcțiile și definite pe interval după cum urmează. Fie descompunerea în sistemul de numere ternar să aibă forma (fiecare dintre este egală cu 0, 1 sau 2). Apoi definim ca un număr având următoarea descompunere în sistemul ternar: $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$ $X$ $0,x_{1}x_{2}\ldots x_{k)$ $x_k$ $f(x)$ $0,f_{1}f_{2}\ldots f_{k)$

$f_{1}=x_{1}$
$f_{2}=x_{3}$ , dacă par și , dacă impar , dacă par $x_{2}$ $2-x_{3)$ $x_{2}$
$\ldots$
$f_{k}=x_{2k-1)$ ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

$f_{k}=2-x_{2k-1)$ , dacă este ciudat ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

În mod similar, definim o funcție în sistemul numeric ternar: $g(x)=0,g_{1}g_{2}\ldots g_{k}\ldots$

$g_{1}=x_{2}$ , dacă par și , dacă impar , dacă par , dacă impar $x_{1}$ $2-x_{2)$ $x_{1}$
$\ldots$
$g_{k}=x_{2k)$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$
$g_{k}=2-x_{2k)$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$

Luați în considerare acum maparea: . Se poate dovedi că: $x\mapsto [f(x),g(x)]$

1. Funcțiile și sunt bine definite (adică în numere care permit 2 reprezentări în sistemul numeric ternar, valorile și se vor dovedi independente de alegerea reprezentării). $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$

2. Funcțiile și sunt continue pe . $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$

3. Sistemul de ecuații și are cel puțin 1 și cel mult 4 soluții pentru oricare și situată pe intervalul . $f(x)=a$ $g(x)=b$ $A$ $b$ $[0,1]$

Astfel, maparea cu funcții de coordonate și în plan pătratează continuu segmentul . $f$ $g$ $x\mapsto [f(x),g(x)]$ $[0,1]$ ${\displaystyle [0,1]^{2))$

Construcție geometrică.

Luați în considerare un segment unitar și un pătrat unitar. La prima etapă de construcție, vom împărți pătratul prin linii de mijloc în 4 pătrate egale, iar segmentul în 4 părți egale. Obținem pătrate și segmente de nivelul 1. La fiecare pas următor, împărțim pătratele și segmentele nivelului anterior în 4 părți - obținem pătratele și segmentele de la nivelul următor. Avem 4 pătrate de nivelul 1, 16 pătrate de nivelul 2 etc.; la fel cu tăieturile. Să setăm ordinea de ocolire a pătratelor fiecărui nivel. Pentru nivelul 1, 2, ..., 6, ordinea de ocolire este prezentată în figură. Ordinea de traversare definește o corespondență unu-la-unu între mulțimea de pătrate ale nivelului n -lea și setul de segmente ale nivelului n -lea.

Să fie acum un punct arbitrar al segmentului de unitate original. Fie numărul segmentului de la nivelul 1 căruia îi aparține punctul , fie numărul segmentului de la nivelul 2 căruia îi aparține punctul , etc. Să considerăm pătrate cu aceleași numere . Ordinea în care sunt străbătute pătratele este aranjată în așa fel încât (atenție!) pătratele să formeze un sistem imbricat. Conform teoremei sistemului imbricat (contractant) al segmentelor, pătratele au un singur punct comun . $X$ $k_{1}$ $X$ $k_{2}$ $X$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $k_{1},k_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Dacă aparține simultan la 2 segmente, atunci aceste segmente corespund a 2 pătrate cu o latură comună - așa este aranjată ordinea de ocolire. Numim astfel de pătrate adiacente. În acest caz, în loc de pătrate , luați în considerare dreptunghiuri - combinații de pătrate adiacente. Și apoi - singurul punct comun al sistemului imbricat al acestor dreptunghiuri. $X$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Raționament similar arată că fiecare punct al pătratului va corespunde unui punct al segmentului unității. $y$ $X$

Maparea construită determină curba Peano dorită. Continuitatea afișajului rezultă din faptul că segmentele apropiate corespund pătratelor apropiate. Fiecare punct are: $x \rightarrow y$ $y$

1 pre -imagine (dacă nu aparține limitelor a două pătrate neadiacente de orice nivel), $X$ $y$
2 pre-imagini (dacă nu există mai mult de două pătrate neadiacente de un anumit nivel în limite), $y$
3 pre-imagini (dacă aparține limitelor a patru pătrate de un anumit nivel, dintre care o pereche este adiacentă), un exemplu de astfel de punct este centrul pătratului, $y$
4 preimagini (dacă aparține limitelor a patru pătrate neadiacente în perechi de un anumit nivel). $y$

Curbele care specifică ordinea parcurgerii pătratelor sunt aproximări succesive ale curbei Peano. Curba Peano este limita acestor curbe.

Principala diferență dintre curba Peano și interpretarea lui Hilbert este că pătratul unității inițiale este împărțit nu în 4, ci în 9 părți, fiecare cu dimensiunile laturilor 3 -n x3 -n , unde n este numărul iterației [4] .

Variații și generalizări

Există un analog al curbelor Peano care umple un cub multidimensional și chiar o cărămidă Hilbert .
Există multe exemple naturale de curbe de umplere a spațiului, sau mai degrabă de umplere a sferei, în teoria grupurilor Klein dublu degenerate . De exemplu, Cannon și Thurston [5] au arătat că cercul de la infinit al acoperirii universale a mănunchiului de torus al cartografierii unui difereomorfism pseudo-Anosov este o curbă de umplere a spațiului. (Aici, o sferă la infinit este o sferă la infinit de spațiu 3-dimensional hiperbolic .)
O generalizare de anvergură conține teorema lui Mazurkiewicz :

Dacă este un continuum , atunci următoarele condiții sunt echivalente: $X$

spațiul este conectat local, $X$
$X$ este imaginea continuă a intervalului.

Teorema Hahn - Mazurkiewicz este următoarea caracterizare a spațiilor care sunt imagini continue ale curbelor:

Un spațiu topologic Hausdorff nevid este imaginea unui interval unitar dacă și numai dacă este compact, conectat , conectat local și a doua axiomă de numărabilitate este valabilă pentru el .

Spațiile care sunt imaginea continuă a intervalului unitar sunt uneori numite spații Peano . În multe formulări ale teoremei Hahn-Mazurkiewicz, îndeplinirea celei de-a doua axiome a numărabilității este înlocuită cu conceptul de metrizable . Aceste două formulări sunt echivalente. Într-o direcție, un spațiu Hausdorff compact este un spațiu normal și, prin teorema de metrizabilitate a lui Urysohn , îndeplinirea celei de-a doua axiome de numărabilitate implică metrizabilitatea. În direcția opusă, pentru un spațiu metric compact, a doua axiomă de numărabilitate este valabilă .

Note

↑ Peano, 1890 , p. 157.
↑ Hilbert, 1891 .
↑ Ideea a fost preluată din cartea: Makarov B. M., Goluzina M. G., Lodkin A. A., Podkorytov A. N. Probleme selectate în analiza reală. - M . : Nauka, 1992. - S. 44.
↑ Slyusar, V. Fractal Antennas. Un tip fundamental nou de antene „rupte”. Partea 2. . Electronică: știință, tehnologie, afaceri. - 2007. - Nr 6. S. 82-89. (2007). Consultat la 22 aprilie 2020. Arhivat din original pe 3 aprilie 2018. (nedefinit)
↑ Cannon, Thurston, 2007 .

Literatură

James W. Cannon, William P. Thurston . Grupați curbe Peano invariante // Geometrie și topologie . - 2007. - T. 11 , nr. 3 . - S. 1315-1355 . — ISSN 1465-3060 . - doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 . (publicat pentru prima dată în 1982)
D. Hilbert . Über die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück // Mathematische Annalen . - 1891. - T. 38 , nr. 3 . — S. 459–460 . - doi : 10.1007/BF01199431 .
BB Mandelbrot. Geometria fractală a naturii . — W. H. Freeman, 1982. .
Douglas M. McKenna. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - Mathematical Association of America , 1994. - S. 49-73. — ISBN 978-0-88385-516-4 .
G. Peano . Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane // Mathematische Annalen . - 1890. - T. 36 , nr. 1 . — S. 157–160 . - doi : 10.1007/BF01199438 . .
Hans Sagan. Curbe de umplere a spațiului. - Springer-Verlag, 1994. - ISBN 0-387-94265-3 .
Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M. , 1977.
Luzin N. N. Teoria funcţiilor unei variabile reale. - Ed. a II-a - M. , 1948.

Link -uri

Applet-uri Java pe site-ul Cut-the-Knot :

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius

fractali
Caracteristici	dimensiune fractală dimensiunea Hausdorff Dimensiunea Lebesgue recursiunea autoasemănarea
Cei mai simpli fractali	Fern Barnsley Setul Cantor curba dragonului curba Koch Sponge Menger covor Sierpinski Triunghiul Sierpinski Curba de umplere a spațiului
atractor ciudat	Multifractal
Sistemul L	Curba de umplere a spațiului
Fractali de bifurcație	Julia a stabilit Fractal Lyapunov Set Mandelbrot bazinele lui Newton
Fractali aleatorii	Mișcarea browniană arbore brunian suprafata fractala Teoria percolarii
oameni	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandru Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
subiecte asemănătoare	Cât de lungă este coasta Marii Britanii? » Paradoxul litoralului