Triunghi

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 ianuarie 2022; verificările necesită 35 de modificări .

Triunghi

coaste	3
Simbolul Schläfli	{3}
Fișiere media la Wikimedia Commons

Un triunghi (în spațiul euclidian ) este o figură geometrică formată din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă . Aceste trei puncte sunt numite vârfuri ale triunghiului, iar segmentele sunt numite laturile triunghiului. Partea de plan mărginită de laturi se numește interiorul triunghiului: adesea triunghiul este considerat împreună cu interiorul său (de exemplu, pentru a defini conceptul de zonă) [1] .

Laturile unui triunghi formează trei unghiuri la vârfurile unui triunghi , deci un triunghi poate fi definit și ca un poligon care are exact trei unghiuri [2] , i.e. ca parte a unui plan delimitat de trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă. Triunghiul este una dintre cele mai importante figuri geometrice utilizate pe scară largă în știință și tehnologie, astfel încât studiul proprietăților sale a fost efectuat încă din cele mai vechi timpuri.

Conceptul de triunghi admite diverse generalizări. Puteți defini acest concept în geometrie non-euclidiană (de exemplu, pe o sferă ): pe astfel de suprafețe , un triunghi este definit ca trei puncte conectate prin geodezice . În geometria -dimensională, analogul unui triunghi este simplexul --lea dimensional . $n$ $n$

Uneori este considerat un triunghi degenerat , ale cărui trei vârfuri se află pe aceeași linie dreaptă. Dacă nu se specifică altfel, triunghiul din acest articol se presupune a fi nedegenerat.

Elementele de bază ale triunghiului

Varfurile, laturile, colturile

În mod tradițional, vârfurile unui triunghi sunt indicate prin litere mari ale alfabetului latin: , iar laturile opuse acestora - prin aceleași litere mici (vezi figura). Un triunghi cu vârfuri și este notat ca . Laturile pot fi de asemenea notate prin literele vârfurilor lor de delimitare: , , . $A,B,C$ $A$ $B$ $C$ $\Delta ABC$ $AB=c$ $BC=a$ $CA=b$

Triunghiul are următoarele unghiuri: $\Delta ABC$

unghi - unghiul format de laturile si si opus laturii ; $\unghi A=\unghi BAC$ $AB$ $AC$ $î.Hr$
unghi - unghiul format de laturile si si opus laturii ; $\angle B=\unghi ABC$ $AB$ $î.Hr$ $AC$
unghi - unghiul format de laturile si si opus laturii . $\angle C=\unghi ACB$ $î.Hr$ $AC$ $AB$

Valorile unghiurilor de la vârfurile corespunzătoare sunt în mod tradițional notate cu litere grecești ( , , ). $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

Unghiul extern al unui triunghi plat la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului intern al triunghiului la acest vârf (vezi figura). Dacă unghiul interior la un vârf dat al unui triunghi este format din două laturi care ies dintr-un vârf dat, atunci unghiul exterior al unui triunghi este format dintr-o latură care iese dintr-un vârf dat și continuarea celeilalte laturi care iese din același vârf. Colțul exterior poate lua valori de la până la . $DCA$ $ABC$ $C$ $ACB$ $0$ $180^{\circ }$

Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor celor trei laturi ale sale, iar jumătate din această valoare se numește semiperimetru .

Clasificarea triunghiurilor

După mărimea unghiurilor

Deoarece în geometria euclidiană suma unghiurilor unui triunghi este , atunci cel puțin două unghiuri din triunghi trebuie să fie acute (mai mici decât ). Există următoarele tipuri de triunghiuri [2] . $180^{\circ }$ $90^{\circ }$

Dacă toate unghiurile unui triunghi sunt acute, atunci triunghiul se numește ascuțit .
Dacă unul dintre unghiurile triunghiului este drept (egal ), atunci triunghiul se numește dreptunghic . Cele două laturi care formează un unghi drept se numesc catete , iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză . $90^{\circ }$
Dacă unul dintre unghiurile triunghiului este obtuz (mai mare decât ), atunci triunghiul se numește obtuz . Cele două unghiuri rămase sunt evident acute (nu pot exista triunghiuri cu două unghiuri obtuze sau drepte). $90^{\circ }$

După numărul de laturi egale

Un triunghi se numește scalen dacă toate cele trei laturi nu sunt egale.
Un triunghi isoscel este unul în care două laturi sunt egale. Aceste laturi se numesc latura , a treia latura se numeste baza . Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.
Se numește triunghi echilateral sau dreptunghic , în care toate cele trei laturi sunt egale. Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile sunt egale cu 60 °, iar centrele cercurilor înscrise și circumscrise coincid . Un triunghi echilateral este un caz special de triunghi isoscel.

Mediane, înălțimi, bisectoare

Mediana unui triunghi desenat dintr-un vârf dat este segmentul care leagă acest vârf de punctul de mijloc al laturii opuse (baza medianei). Toate cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct de intersecție se numește centroid sau centru de greutate al triunghiului. Numele de familie se datorează faptului că un triunghi format dintr-un material omogen are un centru de greutate în punctul de intersecție al medianelor. Centroidul împarte fiecare mediană 1:2 de la baza medianei. Un triunghi cu vârfuri la mijlocul medianelor se numește triunghi median . Bazele medianelor unui triunghi dat formează așa-numitul triunghi complementar . Lungimea medianeicoborâte în lateralpoate fi găsită prin formulele: $m_{c},$ $c,$

m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }};

similar pentru alte mediane.

Înălțimea în triunghiuri de diferite tipuri
Înălțimile se intersectează la ortocentru

Înălțimea unui triunghi desenat dintr-un vârf dat se numește perpendiculară căzută din acest vârf spre latura opusă sau continuarea sa. Cele trei înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct, numit ortocentrul triunghiului. Un triunghi cu vârfuri la baza înălțimilor se numește ortotriunghi .

Lungimea înălțimii coborâtă în lateral poate fi găsită prin formulele: $h_{c}$ $c$

h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta =c\,{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta ))}

; similar pentru alte înălțimi.

Lungimile înălțimilor coborâte în lateral. pot fi găsite și folosind formulele: [3] :p.64

h_{c}={\frac {ab}{2R)),\quad h_{a}={\frac {bc}{2R)),\quad h_{b}={\frac {ca} {2R}}

Bisectoarea ( bisectoarea ) unui triunghi desenat dintr-un vârf dat este un segment care leagă acest vârf de un punct de pe latura opusă și împarte unghiul la vârful dat în jumătate. Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct, iar acel punct este același cu centrul cercului înscris ( incentrul ).

Dacă triunghiul este scalen (nu isoscel), atunci bisectoarea desenată din oricare dintre vârfurile sale se află între mediana și înălțimea trase din același vârf. O altă proprietate importantă a bisectoarei: împarte latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente acesteia [4] .

Lungimea bisectoarei coborâtă în lateral poate fi găsită prin una dintre formulele: $l_{c}$ $c$

l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, unde este semiperimetrul lui .

p

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {c\,\sin \alpha \cdot \sin \ beta }{\sin(\alpha +\beta )\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

l_{c}={\frac {h_{c)}{\cos {\frac {\alpha -\beta} {2)})}

; aici este înălțimea.

h_{c}

Înălțimea, mediana și bisectoarea unui triunghi isoscel, coborât la bază, sunt aceleași. Este adevărat și invers: dacă bisectoarea, mediana și înălțimea trase dintr-un vârf sunt aceleași, atunci triunghiul este isoscel.

Cercuri circumscrise și înscrise

Cercul circumscris (vezi figura din dreapta) este un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului. Cercul circumscris este întotdeauna unic, centrul său coincide cu punctul de intersecție al perpendicularelor pe laturile triunghiului, trasate prin punctele mijlocii ale laturilor. Într-un triunghi obtuz, acest centru se află în afara triunghiului [4] .

Cercul înscris (vezi figura din dreapta) este un cerc tangent la toate cele trei laturi ale triunghiului. Ea este singura. Centrul cercului înscris se numește incentru , coincide cu punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului.

Următoarele formule vă permit să calculați razele cercurilor circumscrise și înscrise . $R$ $r$

r={S \over p},

unde este aria triunghiului și este semiperimetrul acestuia .

S

p

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))))

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))))}

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}

unde sunt razele excercurilor corespunzătoare $r_{a},r_{b},r_{c)$

Încă două rapoarte utile:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[5]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

Există și formula Carnot [6] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})

unde , , sunt distanțele de la centrul cercului circumscris , respectiv, la laturile , , ale triunghiului, , , sunt distanțele de la ortocentrul , respectiv, la vârfurile , , ale triunghiului. $k_{a)$ $k_{b)$ $k_{c)$ $A$ $b$ $c$ $d_{A}$ $d_{B}$ $d_{C}$ $A$ $B$ $C$

Distanța de la centrul cercului circumscris , de exemplu, la latura triunghiului este: $A$

k_{a}=a/(2\operatorname {tg} A)

;

distanța de la ortocentru , de exemplu, la vârful triunghiului este: $A$

d_{A}=a/\operatorname {tg} A

Semne de triunghiuri egale

Un triunghi pe planul euclidian poate fi definit în mod unic (până la congruență ) prin următoarele triplete de elemente de bază: [7]

$A$ , , (egalitatea pe două laturi și unghiul dintre ele); $b$ $\gamma$
$A$ , , (egalitate în latură și două unghiuri adiacente); $\beta$ $\gamma$
$A$ , , (egalitate pe trei laturi). $b$ $c$

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

de-a lungul piciorului și ipotenuzei;
pe două picioare;
de-a lungul piciorului și unghi ascuțit;
ipotenuza si unghiul ascutit.

Caracteristica suplimentară: triunghiurile sunt egale dacă au două laturi și un unghi opus celei mai mari dintre aceste laturi [8] .

În geometria sferică și în geometria lui Lobaciovsky există semnul că triunghiurile sunt egale în trei unghiuri.

Semne de similitudine ale triunghiurilor

Proprietățile de bază ale elementelor triunghiulare

Proprietăți de colț

În orice triunghi, un unghi mai mare se află opus laturii mai mari și invers. Unghiuri egale se află pe laturi egale [8] .

Fiecare unghi exterior al unui triunghi este egal cu diferența dintre 180° și unghiul interior corespunzător. Pentru un unghi extern, este valabilă și teorema triunghiului unghiului extern : un unghi extern este egal cu suma a altor două unghiuri interne care nu sunt adiacente lui [8] .

Inegalitatea triunghiului

Într-un triunghi nedegenerat, suma lungimilor celor două laturi ale sale este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi; într-un triunghi degenerat, este egală. Cu alte cuvinte, lungimile laturilor unui triunghi nedegenerat sunt legate de următoarele inegalități:

a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b

Proprietate suplimentară: fiecare latură a triunghiului este mai mare decât diferența celorlalte două laturi [8] .

Teorema sumei triunghiului

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este întotdeauna 180°:

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

În geometria Lobachevsky, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mică de 180°, în timp ce pe o sferă este întotdeauna mai mare.

Teorema sinusului

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

unde este raza cercului circumscris triunghiului. $R$

Teorema cosinusului

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Este o generalizare a teoremei lui Pitagora .

Observație . teorema cosinusului se mai numește și următoarele două formule, ușor deduse din teorema cosinusului principal (vezi p. 51, f. (1.11-2)) [9] .

a^{2}=(b+c)^{2}-4bc\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2)),\quad a^{2}=(bc)^ {2}+4bc\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))

Teorema proiecției

Sursa: [10] .

c=a\cos \beta +b\cos \alpha ,\quad a=b\cos \gamma +c\cos \beta ,\quad b=c\cos \alpha +a\cos \gamma

Teorema tangentei

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operatorname {tg } [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}});{\frac {bc}{b+c}}={\frac {\operatorname {tg} [{\frac { 1}{2}}(\beta -\gamma )]}{\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )]}});{\frac {ac }{ a+c))={\frac {\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\gamma )]}{\operatorname {tg} [{\frac {1} {2 }}(\alpha +\gamma )]}}.

Un alt nume: Formula Regiomontanus .

Teorema cotangentei

{\frac {pa}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {pb}{\operatorname {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc }{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}=r

Formulele lui Mollweide

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}},\ quad {\frac {ab}{c}}={\frac {\sin {\frac {AB}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}

Rezolvarea triunghiurilor

Calculul laturilor, unghiurilor și altor caracteristici necunoscute ale unui triunghi din cele cunoscute a fost numit istoric „ rezolvarea triunghiurilor ”. Aceasta utilizează teoremele trigonometrice generale de mai sus, precum și semnele de egalitate și asemănare ale triunghiurilor .

Aria unui triunghi

În continuare, folosim notația

$\ h_{a},h_{b},h_{c}$ - înălțimi trasate în lateral , $\ a,b,c$
$\m$ - mediana de la vârful unghiului cu laturile $\a,b,$
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - semiperimetrul,
$\ p_{m}={\frac {a+b+2m}{2))$ ,
$\r$ este raza cercului înscris ,
$\r_{a},r_{b},r_{c)$ sunt razele excercului tangente la laturi , $\ a,b,c$
$\r_{a},r_{b},r_{c)$
$\R$ este raza cercului circumscris .

Aria unui triunghi este legată de elementele sale principale prin următoarele relații.

$S_{\triunghi ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
$S_{\triunghi ABC}={\frac {abc}{4R))$
$S_{\triunghi ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb )(a+bc)}}$ - Formula lui Heron
$S_{\triangle ABC}=(pb)r_{b)$ [unsprezece]
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p_{m}(p_{m}-a)(p_{m}-b)(p_{m}-2m)))$

$S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c)))$ [12]
$S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
$S_{\triunghi ABC}={\frac {c^{2}}{2(\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta )))$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {CA}}\wedge {\overrightarrow {CB}})={\frac {1}{2}}( x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{C})-{\frac {1}{2}}(x_{B}-x_{C})(y_{A}-y_ {C})$ este aria orientată a triunghiului.
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {1}{h_{a)}}+{\frac {1}{h_{b ))}+{\frac {1}{h_{c}}}\dreapta)\stânga({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}} -{\frac {1}{h_{a}}}\dreapta)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\ frac {1}{h_{b}}}\dreapta)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1 {h_{c}}}\right)}}}}}$ - vezi Analogii formulei lui Heron
$S_{\triangle ABC}=r^{2}\operatorname {ctg} ({\frac {\alpha {\alpha}}}}\operatorname {ctg} ({\frac {\beta} {2)} )\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))$

Cazuri speciale

$S_{\triunghi ABC}={\frac {ab}{2))$ - pentru un triunghi dreptunghic
$S={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ - pentru un triunghi echilateral

Alte formule

Există și alte formule, cum ar fi [13]

S={\frac {\operatorname {tg} \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})

pentru colt . $\alpha \neq 90^{\circ }$

În 1885, Baker [14] a propus o listă de peste o sută de formule pentru aria unui triunghi. Acesta include, în special:

S={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c)))

S={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}}

S={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})))

S={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}

Inegalități pentru aria unui triunghi

Următoarele inegalități sunt valabile pentru zonă:

${\sqrt {27}}r^{2}\leqslant S\leqslant {\frac {\sqrt {27}}{4}}R^{2}$ , iar ambele egalități sunt atinse.
$S\leqslant {\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2})$ , unde egalitatea este realizată pentru un triunghi dreptunghic isoscel.
Aria unui triunghi cu perimetrul mai mic sau egal cu . Egalitatea se realizează dacă și numai dacă triunghiul este echilateral ( triunghi regulat ) [15] [16] :657 . $p$ $p^{2}/(12{\sqrt {3)})$
Alte limite pentru zonă sunt date de formulele [17] :p.290 $S$

4{\sqrt {3}}S\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

și ,

4{\sqrt {3}}S\leqslant {\frac {9abc}{a+b+c}}

unde în ambele cazuri egalitatea se realizează dacă și numai dacă triunghiul este echilateral (regulat).

Istoria studiului

Proprietățile unui triunghi studiat la școală, cu rare excepții, sunt cunoscute încă din antichitate timpurie. Începuturile cunoștințelor trigonometrice pot fi găsite în manuscrisele matematice ale Egiptului antic , Babilonului și Chinei antice . Principala realizare a acestei perioade a fost raportul, care a primit mai târziu numele de teorema lui Pitagora ; Van der Waerden crede că babilonienii l-au descoperit între 2000 și 1786 î.Hr. e. [optsprezece]

O teorie generală și destul de completă a geometriei triunghiurilor (atât plate, cât și sferice ) a apărut în Grecia Antică [19] . În special, în cea de-a doua carte „ Începuturi ” , teorema lui Euclid 12 este un analog verbal al teoremei cosinus pentru triunghiuri obtuze [20] . Teorema 13 care urmează este o variantă a teoremei cosinusului pentru triunghiuri acute . Proprietățile elementelor triunghiurilor (unghiuri, laturi, bisectoare etc.) după Euclid au fost tratate de Arhimede , Menelaus , Claudius Ptolemeu , Pappus din Alexandria [21] .

În secolul al IV-lea, după declinul științei antice, centrul de dezvoltare a matematicii s-a mutat în India. Scrierile matematicienilor indieni ( siddhantas ) arată că autorii lor erau bine familiarizați cu lucrările astronomilor și geometrilor greci [22] . Indienii erau puțin interesați de geometria pură, dar contribuția lor la astronomia aplicată și la aspectele computaționale ale trigonometriei este foarte semnificativă.

În secolul al VIII-lea, oamenii de știință din țările din Orientul Apropiat și Mijlociu s-au familiarizat cu lucrările matematicienilor și astronomilor greci și indieni antici. Tratatele lor astronomice, analoge cu siddhanta indienilor, erau numite „ ziji ”; un zij tipic era o colecție de tabele astronomice și trigonometrice, prevăzute cu un ghid de utilizare a acestora și (nu întotdeauna) un rezumat al teoriei generale [23] . Comparația zijurilor din perioada secolelor VIII-XIII arată evoluția rapidă a cunoștințelor trigonometrice. Cele mai vechi lucrări supraviețuitoare aparțin lui al-Khwarizmi și al-Marvazi (secolul al IX-lea).

Thabit ibn Qurra (secolul al IX-lea) și al-Battani (secolul al X-lea) au fost primii care au descoperit teorema sinusului fundamental pentru cazul special al unui triunghi sferic dreptunghic . Pentru un triunghi sferic arbitrar, dovada a fost găsită (în diverse moduri și probabil independent unul de celălalt) de Abu-l-Vafa , al-Khujandi și ibn Irak la sfârșitul secolului al X-lea [24] . Într-un alt tratat, ibn Irak a formulat și a demonstrat teorema sinusului pentru un triunghi plat [25] .

Prezentarea fundamentală a trigonometriei (atât plană, cât și sferică) a fost dată de matematicianul și astronomul persan Nasir ad-Din at-Tusi în 1260 [26] . „Tratatul său despre cvadripartitul complet” conține metode practice de rezolvare a problemelor tipice, inclusiv a celor mai dificile, rezolvate chiar de at-Tusi [27] . Astfel, până la sfârșitul secolului al XIII-lea, au fost descoperite teoremele de bază necesare lucrărilor practice cu triunghiuri.

În Europa, dezvoltarea teoriei trigonometrice a devenit extrem de importantă în timpurile moderne, în primul rând pentru artilerie , optică și navigație în călătoriile maritime pe distanțe lungi. În 1551, tabelele trigonometrice cu 15 cifre ale lui Rheticus , un elev al lui Copernic , au apărut cu un pas de 10” [28] . Nevoia de calcule trigonometrice complexe a determinat descoperirea logaritmilor la începutul secolului al XVII-lea , iar primele tabele logaritmice ale lui John Napier conțineau doar logaritmii funcțiilor trigonometrice.

Studiul triunghiului a continuat în secolul al XVII-lea: a fost demonstrată teorema Desargues (1636), a fost descoperit punctul Torricelli (1640) și i-au fost studiate proprietățile. Giovanni Ceva și-a demonstrat teorema transversală (1678). Leibniz a arătat cum se calculează distanța de la centrul de greutate al unui triunghi până la celelalte puncte remarcabile ale acestuia [21] . În secolul al XVIII-lea au fost descoperite linia lui Euler și cercul de șase puncte (1765).

La începutul secolului al XIX-lea a fost descoperit punctul Gergonne . În 1828, teorema lui Feuerbach a fost demonstrată . Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, lucrarea lui Emile Lemoine , Henri Brocard , Joseph Neuberg aparține . Cercul de nouă puncte a fost explorat de Poncelet , Brianchon și Steiner.Au fost descoperite relații geometrice și imagini necunoscute anterior - de exemplu, cercul Brocard , punctele Steiner și Tarry . În 1860, Schlömilch a demonstrat o teoremă: trei drepte care leagă punctele medii ale laturilor unui triunghi cu punctele mijlocii ale înălțimilor sale respective se intersectează într-un punct. În 1937, matematicianul sovietic S. I. Zetel a arătat că această teoremă este adevărată nu numai pentru înălțimi, ci și pentru orice alt cevian . Studiile geometrilor enumerați mai sus au transformat geometria triunghiului într-o ramură independentă a matematicii [29] .

O contribuție semnificativă la geometria triunghiului a fost adusă la sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea de către Frank Morley . El a demonstrat că locul centrelor cardioidului înscris într-un triunghi este format din nouă drepte, care, luate în trei, sunt paralele cu cele trei laturi ale unui triunghi echilateral. În plus, cele 27 de puncte în care aceste nouă drepte se intersectează sunt punctele de intersecție a două trisectoare ale triunghiului care aparțin aceleiași laturi a triunghiului. Cel mai faimos este un caz special al acestei teoreme: trisectoarele interioare ale unghiurilor unui triunghi adiacent aceleiași laturi se intersectează în perechi la trei vârfuri ale unui triunghi echilateral. O generalizare a acestor lucrări a fost publicată de Henri Lebesgue (1940), el a introdus sectoarele - ale unui triunghi și a studiat amplasarea lor într-o formă generală [30] . $n$

Din anii 1830 , coordonatele punctuale triliniare au devenit utilizate pe scară largă în geometria triunghiului . Teoria transformărilor a fost dezvoltată activ - proiectivă , izogonală , izotomică și altele. Ideea de a lua în considerare problemele teoriei triunghiurilor pe plan complex sa dovedit a fi utilă . [29] .

Informații suplimentare

Toate faptele din această secțiune se referă la geometria euclidiană .

Segmentul de linie care leagă un vârf de un punct din partea opusă se numește ceviana . De obicei, un cevian este înțeles nu ca un astfel de segment, ci ca unul dintre cele trei astfel de segmente desenate din trei vârfuri diferite ale unui triunghi și care se intersectează într-un punct . Ele îndeplinesc condițiile teoremei lui Ceva . Cevianele care leagă vârful unui triunghi cu puncte de pe latura opusă, distanțate la un raport dat de capetele sale, se numesc nediani . ${\frac {1}{n}}$
Linia mediană a unui triunghi este segmentul de linie care leagă punctele medii ale celor două laturi ale triunghiului. Cele trei linii mediane ale unui triunghi îl împart în patru triunghiuri egale, de 4 ori mai mici ca suprafață decât aria triunghiului original.
Bisectoarele perpendiculare (mediatricele) pe laturile triunghiului se intersectează și ele într-un punct, care coincide cu centrul cercului circumscris .
Cevianele situate pe linii simetrice față de mediane față de bisectoare se numesc simetriene . Ei trec printr-un punct - punctul Lemoine .
Cevianele situate pe linii izotomic conjugate la bisectoare în raport cu bazele medianelor se numesc antibisectoare . Trec printr-un punct - centrul antibisectoarelor .
Brațul unui triunghi este un segment, dintre care un vârf se află în mijlocul uneia dintre laturile triunghiului, al doilea vârf se află pe una dintre cele două laturi rămase, în timp ce brațul împarte perimetrul în jumătate.

Unele puncte din triunghi sunt „pereche”. De exemplu, există două puncte din care toate laturile sunt vizibile fie la un unghi de 60°, fie la un unghi de 120°. Se numesc puncte Torricelli . Există, de asemenea, două puncte ale căror proiecții pe laturi se află la vârfurile unui triunghi regulat. Acestea sunt punctele lui Apollonius . Punctele și altele asemenea sunt numite puncte ale lui Brokar . $P$ $Q$ $\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP$ $\angle BAP=\angle CBP=\angle ACP$

Niște triunghiuri drepte minunate

În orice triunghi , centrul de greutate , ortocentrul , centrul cercului circumscris și centrul cercului Euler se află pe aceeași linie dreaptă, numită linie Euler .
În orice triunghi , centrul de greutate , centrul cercului înscris în el ( incentrul ), punctul său Nagel și centrul cercului înscris în triunghiul complementar (sau centrul lui Spieker ) se află pe aceeași linie dreaptă, numită a doua linie Euler (linia Nagel) $A'B'C'$
Linia dreaptă care trece prin centrul cercului circumscris și punctul Lemoine se numește axa lui Brocard . Punctele Apollonius se află pe el .
Punctele Torricelli și punctul Lemoine se află, de asemenea, pe aceeași linie dreaptă .
Dacă luăm un punct de pe cercul circumferitor al unui triunghi, atunci proiecțiile sale pe laturile triunghiului se vor afla pe o singură dreaptă, numită linia Simson a punctului dat. Liniile lui Simson ale punctelor diametral opuse ale cercului circumscris sunt perpendiculare.

Triunghiul polar triliniar

Polara triliniară a unui punct (pol) în raport cu un triunghi nedegenerat este o linie dreaptă definită de următoarea construcție. Dacă continuăm laturile triunghiului cevian ale unui punct și luăm punctele lor de intersecție cu laturile corespunzătoare, atunci punctele de intersecție rezultate se vor afla pe o singură dreaptă, numită polara triliniară a punctului de plecare (figura arată construcția polar triliniar al punctului roșu ). $P$ $EDF$ $Y$
Polara triliniară a centroidului este linia dreaptă la infinit - (vezi Fig.)

Polara triliniară a punctului Lemoine este axa Lemoine (vezi Fig.)

Toate cele trei baze și , respectiv , trei bisectoare externe și unghiurile externe ale triunghiului se află pe o singură linie dreaptă, numită axa bisectoarelor externe sau axa antiortică (vezi figura). Această axă este, de asemenea, polara triliniară a centrului cercului ( incentrul ). $D$ $E$ $F$ $ANUNȚ$ $CE$ $BF$ $ABC$ $DEF$

Axa ortică - polara triliniară a ortocentrului (vezi fig.) $DEF$
Polarii triliniari ai punctelor situate pe conica circumscrisă se intersectează într-un punct (pentru cercul circumscris acesta este punctul Lemoine , pentru elipsa Steiner circumscrisă este centroidul ).

Figuri înscrise și circumscrise pentru un triunghi

Transformări

Mai jos sunt descrise 3 tipuri de transformări: 1) Conjugare izogonală, 2) Conjugare izotomică, 3) Transformare izocirculară.

Conjugarea izogonală

Dacă liniile care trec prin vârfuri și un punct care nu se află pe laturi și prelungirile lor sunt reflectate în raport cu bisectoarele corespunzătoare, atunci imaginile lor se vor intersecta și într-un punct, care se numește inițial conjugat izogonal (dacă punctul se află pe cercul circumscris, apoi liniile rezultate vor fi paralele).
Multe perechi de puncte remarcabile sunt conjugate izogonal :
- Centrul cercului circumscris și ortocentrul (punctul de intersecție al înălțimilor),
- Centroid (punctul de intersecție al medianelor ) și punctul Lemoine (punctul de intersecție al medianelor ),
- Centrul celor nouă puncte și punctul Kosnita al triunghiului asociat cu teorema Kosnita [31] ;
- Două puncte Brocard ;
- Punctele Apollonius și punctele Torricelli .
Punctul Gergonne și centrul homoteției negative a cercurilor înscrise și circumscrise.
Punctul lui Nagel și centrul homoteției pozitive a cercului și cercului circumferitor ( punctul Verrier ).
Cercurile circumscrise ale triunghiurilor subdermice ale punctelor conjugate izogonal coincid.
Focarele elipselor înscrise sunt conjugate izogonal.
O conjugare izogonală are exact patru puncte fixe (adică puncte care sunt conjugate cu ele însele): centrul cercului înscris și centrele excercurilor triunghiului [32] .
Dacă pentru orice punct interior al unui triunghi construim trei puncte care sunt simetrice cu el în raport cu laturile și apoi desenăm un cerc prin ultimele trei, atunci centrul său este conjugat izogonal cu punctul de plecare [33] .

Conjugări izogonale ale liniilor triunghiulare

Sub acțiunea conjugării izogonale, liniile trec în conici circumscrise , iar conicile circumscrise în linii drepte.
Deci, conjugați izogonal:
- hiperbola Kiepert și axa lui Brocard ,
- hiperbola lui Enzhabek și linia lui Euler ,
- hiperbola Feuerbach și linia centrelor cercurilor înscrise și circumscrise .
Unele cuburi cunoscute - de exemplu, cubul Thomson - sunt izogonal auto-ajutoare, în sensul că atunci când toate punctele lor dintr-un triunghi sunt conjugate izogonal, se obțin din nou cuburi.

Conjugarea izotomiei

Dacă, în loc de un cevian simetric, luăm un cevian a cărui bază este la fel de departe de mijlocul laturii ca și baza celui original, atunci și astfel de cevian se vor intersecta într-un punct. Transformarea rezultată se numește conjugare izotomică . De asemenea, mapează linii la conice circumscrise .

Următoarele puncte sunt conjugate izotomic :
- punctul Gergonne și Nagel ,
- punctul de intersecție al bisectoarelor ( incentrul ) și punctul de intersecție al bisectoarelor ,
- Punctul Lemoine (punctul de intersecție al symmedianelor) al unui triunghi este conjugat izotomic cu punctul său Brocard ,
- Centroidul (punctul de intersecție al medianelor) este conjugat izotomic cu el însuși.

Sub transformări afine, punctele conjugate izotomic trec în cele conjugate izotomic. Cu conjugarea cu izotomie , elipsa Steiner descrisă va merge la linia de la infinit .

Compoziția unei conjugări izogonale (sau izotomice ) și a unei polari triliniare

Compoziția unei conjugări izogonale (sau izotomice ) și a unei polari triliniare este o transformare de dualitate . Aceasta înseamnă că dacă punctul conjugat izogonal ( izotomic ) cu punctul se află pe polara triliniară a punctului , atunci polara triliniară a punctului conjugată izogonal ( izotomic ) cu punctul se află pe polara triliniară a punctului . $X$ $Y$ $Y$ $X$
Polara triliniară a punctului conjugat izogonal cu punctul triunghiului se numește linia centrală a punctului [34] [35] . $Y$ $X$ $X$

Transformare izocirculară

Dacă în segmentele tăiate de laturile triunghiului din cercul circumscris se înscriu cercuri care ating laturile de la bazele cevianelor trase printr-un anumit punct, apoi punctele de contact ale acestor cercuri sunt conectate la circumscris cerc cu vârfuri opuse, atunci astfel de linii se vor intersecta într-un punct. Transformarea planului, comparând punctul de plecare cu cel rezultat, se numește transformare izocirculară [36] . Compoziția conjugărilor izogonale și izotomice este compoziția transformării izocirculare cu ea însăși. Această compoziție este o transformare proiectivă care lasă laturile triunghiului pe loc și transpune axa bisectoarelor exterioare într-o linie dreaptă la infinit.

Identități trigonometrice cu numai unghiuri

Trei unghiuri pozitive , și , fiecare mai mic decât , sunt unghiuri ale unui triunghi dacă și numai dacă este valabilă oricare dintre următoarele relații: $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $180^{\circ }$

\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta +\operatorname {tg} \gamma =\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma

( prima identitate pentru tangente )

Observație . Relația de mai sus se aplică numai atunci când niciunul dintre unghiuri nu este de 90° (caz în care funcția tangentă este întotdeauna definită).

\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2 }}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2} }=1

, [37]

( a doua identitate pentru tangente )

\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

( prima identitate pentru sines )

\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2)}+\sin ^{2}{\frac {\ gamma }{2))+2\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta }{2))\sin {\frac {\gamma }{2))=1

, [37]

( a doua identitate pentru sinusuri )

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =1

, [5]

( identitate pentru cosinus )

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

( identitate pentru raportul razelor )

Observație . La împărțirea ambelor părți ale celei de-a doua identități pentru tangente la produs , se obține o identitate pentru cotangente : $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2} }$

\operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{ 2}}=\operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{2 }}

în formă (dar nu în conținut) foarte asemănătoare cu prima identitate pentru tangente .

Raporturi diferite

Rapoartele metrice dintr-un triunghi sunt date pentru : $\triunghi ABC$

${\frac {a}{b}}={\frac {a_{L}}{b_{L}}}$
$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L ))}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={\frac {1 }{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}$
$h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c)}$
$d^{2}=R(R-2r)$ - Formula lui Euler
${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta +\operatorname {ctg} \gamma )=2R^ {2}(3-(\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma ))$
${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2} +m_{c}^{2}$ [3] :p.70

Unde:

$A$ , și sunt laturile triunghiului, $b$ $c$
$a_{L}$ , sunt segmentele în care bisectoarea împarte latura , $b_{L}$ $l_{c}$ $c$
$m_{a}$ , , sunt medianele trase, respectiv, pe laturi , și , $m_{b}$ $m_{c}$ $A$ $b$ $c$
$Ha}$ , , sunt înălțimile coborâte, respectiv pe laturi , și , $h_{b}$ $h_{c}$ $A$ $b$ $c$
$r$ este raza cercului înscris ,
$R$ este raza cercului circumscris ,
$p={\frac {a+b+c}{2)}$ - semi -perimetrul ,
$S$ - zona ,
$d$ este distanța dintre centrele cercurilor înscrise și circumscrise.
Pentru orice triunghi ale cărui laturi sunt legate prin inegalități și a cărui zonă este , lungimile perpendicularelor medii sau mediatricelor închise în interiorul triunghiului, coborâte la latura corespunzătoare (marcate cu un indice), sunt [38] : Corolarele 5 și 6 $a\geqslant b\geqslant c$ $S$

p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2)))

, și .

p_{b}={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2)))

p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2)))

Formule pentru aria unui triunghi în coordonate carteziene pe plan

Notaţie

$\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ sunt coordonatele vârfurilor triunghiului.

Formula generală pentru aria unui triunghi în coordonate carteziene pe plan

S_{\triunghi ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_ {C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+ x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{ A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\dreapta|}{2}}

În special, dacă vârful A este la origine (0, 0), iar coordonatele celorlalte două vârfuri sunt B = ( x B , y B ) și C = ( x C , y C ) , atunci aria poate fi calculată ca 1 ⁄ 2 din valoarea absolută a determinantului

T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right| ={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.

Ultima formulă pentru aria unui triunghi în literatura engleză se numește formula zonei închise într-o șiretură ruptă întinsă peste unghii ( formula șiretului pantofilor ) sau formula geodezică (formula geodezică [ 39] ) sau zona Gauss formulă.

Calcularea ariei unui triunghi în spațiu folosind vectori

Fie vârfurile triunghiului să fie în punctele , , . $\ \mathbf {r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A})$ $\ \mathbf {r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B})$ $\ \mathbf {r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C})$

Să introducem vectorul zonă . Lungimea acestui vector este egală cu aria triunghiului și este îndreptată de-a lungul normalei la planul triunghiului: $\ \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}[\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r}_{A}]$

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{B}-x_{A} &y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}\end{ vmatrix}}

Fie , unde , , sunt proiecțiile triunghiului pe planurile de coordonate. în care $\mathbf {S} =S_{x}\mathbf {i} +S_{y}\mathbf {j} +S_{z}\mathbf {k}$ $S x}$ $S_{y)$ $S_{z)$

S_{x}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\y_{C}-y_{A} &z_{C}-z_{A}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&y_{A}&z_{A}\\1&y_{B}&z_{B} \\1&y_{C}&z_{C}\end{vmatrix}}

si la fel

S_{y}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&1&z_{A}\\x_{B}&1&z_{B}\\x_{C}&1&z_{C}\ end{vmatrix}},\qquad S_{z}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\ \x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

Aria triunghiului este . $S={\sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2))}$

O alternativă este de a calcula lungimile laturilor (conform teoremei lui Pitagora ) și mai departe folosind formula Heron .

Calcularea ariei unui triunghi folosind coordonatele carteziene complexe ale vârfurilor sale

Dacă notăm coordonatele carteziene complexe (pe planul complex) ale vârfurilor triunghiului, respectiv, cu , și și notăm punctele lor complexe conjugate cu , și respectiv , atunci obținem formula: $a=x_{A}+y_{A}i$ $b=x_{B}+y_{B}i$ $c=x_{C}+y_{C}i$ ${\bar {a}}$ ${\ghimpe}}$ ${\bar {c}}$

T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c} }&1\end{vmatrix}}

care este echivalentă cu formula zonei închise în interiorul liniei întrerupte a șiretului întins peste unghii ( formula șiretului ), sau cu formula geodezică ( formula geodezică [ 39] ), sau cu formula zonei Gauss.

Triunghi în geometrii non-euclidiene

Pe sferă

Proprietățile unui triunghi cu laturile , , și unghiurile , , . $A$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$

Suma unghiurilor unui triunghi (nedegenerat) este strict mai mare decât . $180^{\circ }$

Orice triunghi similare sunt congruente.

Teorema sinusului (în continuare, latura unui triunghi sferic este de obicei măsurată nu printr-o măsură liniară, ci prin valoarea unghiului central bazată pe aceasta ):

{\frac {\sin A}{\sin a))={\frac {\sin B}{\sin b))={\frac {\sin C}{\sin c))

Teoreme de cosinus:

\cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

Pe avionul Lobaciovski

Pentru un triunghi cu laturile , , și unghiuri , , . $A$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$

Suma unghiurilor unui triunghi (nedegenerat) este strict mai mică decât . $180^{\circ }$

Ca și pe o sferă, orice triunghi similar este congruent.

Teorema sinusului

{\frac {\sin A}{\operatorname {sh} a}}={\frac {\sin B}{\operatorname {sh} b}}={\frac {\sin C}{\operatorname {sh}c}}

Teoreme ale cosinusului

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\operatorname {sh} b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\operatorname {ch} c

Relația dintre suma unghiurilor și aria unui triunghi

Valoarea sumei unghiurilor unui triunghi în toate cele trei cazuri (plan euclidian, sferă, plan Lobachevsky) este o consecință a formulei Gauss-Bonnet

\int \limits _{\Omega}K\,d\sigma +\sum _{i}\varphi _{i}=2\pi \chi

În cazul unui triunghi, caracteristica lui Euler este . Colțurile sunt colțurile exterioare ale triunghiului. Valoarea mărimii (curbura gaussiană) este pentru geometria euclidiană, pentru o sferă, pentru planul Lobaciovski. $\chi =1$ $\varphi _{i}$ $K$ $K=0$ $K=1$ $K=-1$

Triunghi în geometria riemanniană

Denumire

Simbol	Unicode	Nume
△	U+25B3	triunghi alb îndreptat în sus

Vezi și

Articole suplimentare despre geometria triunghiului pot fi găsite în categoriile:

Categorie:Geometrie triunghiulară .
Categorie:Teoreme ale geometriei euclidiene
Categorie:Planimetrie
Categorie:Teoreme de planimetrie

Note

↑ Triunghi // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5.
↑ 1 2 Manual de matematică elementară, 1978 , p. 218.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ 1 2 Manual de matematică elementară, 1978 , p. 221.
↑ 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., „On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle”, Mathematical Gazette 87, martie 2003, 119-120.
↑ Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. M.: Uchpedgiz, 1962. problema la p. 120-125. paragraful 57, p.73.
↑ Geometrie conform lui Kiselyov Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , § 41.
↑ 1 2 3 4 Manual de matematică elementară, 1978 , p. 219.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 .
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , f. 1.11-4.
↑ Sa'ndor Nagydobai Kiss, „A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension”, Forum Geometricorum 16, 2016, 283-290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Arhivat 24 octombrie 2018 la Wayback Machine
↑ Pathan, Alex și Tony Collyer, „Area properties of triangles revisited”, Mathematical Gazette 89, noiembrie 2005, 495-497.
↑ Mitchell, Douglas W., „Area unui patrulater”, Mathematical Gazette 93, iulie 2009, 306-309.
↑ Baker, Marcus, „O colecție de formule pentru aria unui triunghi plan”, Annals of Mathematics , partea 1 în vol. 1(6), ianuarie 1885, 134-138; partea 2 în vol. 2(1). ), septembrie 1885, 11-18 Formulele date aici sunt #9, #39a, #39b, #42 și #49.
↑ Chakerian, GD „O vedere distorsionată a geometriei.” Cap. 7 în Prune matematice (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; și Wulf, Daniel B. „Heron triangles and modules spaces”, Profesor de matematică 101, mai 2008, 656-663.
↑ Posamentier, Alfred S. și Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles , Prometheus Books, 2012.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometrie și algebră în civilizațiile antice . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 94-95.
↑ 1 2 Din istoria geometriei triunghiului, 1963 , p. 129.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 40-44.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 92-96.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 111.
↑ Tusi Nasiruddin . Un tratat despre patrulaterul complet. Baku, Ed. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii în două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1960. - T. I. - S. 105.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 320.
↑ 1 2 Din istoria geometriei triunghiului, 1963 , p. 130-132.
↑ Din istoria geometriei triunghiului, 1963 , p. 132-133.
↑ Rigby, John (1997), Note scurte despre unele teoreme geometrice uitate. Mathematics and Informatics Quarterly, volumul 7, paginile 156-158 (după cum este citat de Kimberling).
↑ V. V. Prasolov. Punctele Brocard și conjugarea izogonală. - M . : MTsNPO, 2000. - (Biblioteca „Educația matematică”). — ISBN 5-900916-49-9 .
↑ Matematică în sarcini. Colectare de materiale de la școlile vizitate ale echipei Moscovei pentru Olimpiada de matematică a Rusiei. Editat de A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov și A. V. Shapovalov. Moscova: MTSNMO, 2009.
↑ Kimberling, Clark. Puncte centrale și linii centrale în planul unui triunghi // Revista de matematică : revistă . - 1994. - iunie ( vol. 67 , nr. 3 ). - P. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
↑ Kimberling, Clark. Centrele de triunghi și triunghiurile centrale . - Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - p. 285. Arhivat 10 martie 2016 la Wayback Machine
↑ Myakishev A.G. Elemente de geometrie triunghiulară (Seria: „Bibliotecă” Educație matematică „”) M.: MTSNMO, 2002. p. 14-17
↑ 1 2 Vardan Verdiyan și Daniel Campos Salas, „Sustituții trigonometrice simple cu rezultate ample”, Reflecții matematice nr. 6, 2007.
↑ Mitchell, Douglas W. (2013), „Perpendicular Bisectors of Triangle Sides”, Forum Geometricorum 13, 53-59.
↑ 1 2 Bart Braden. Formula suprafeței topografiei // The College Mathematics Journal :revistă. - 1986. - Vol. 17 , nr. 4 . - P. 326-337 . - doi : 10.2307/2686282 . Arhivat din original pe 6 aprilie 2015.

Literatură

Hadamard J. Geometrie elementară. Partea 1: Planimetrie. Ed. 4, Moscova: Uchpedgiz, 1957. 608 p.
Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. — M .: Nauka, 1978.
- Reeditare: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 p.
Efremov Dm. Noua geometrie a triunghiului . Odesa, 1902.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Noi întâlniri cu geometria. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Biblioteca Cercului Matematic).
Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Myakishev A.G. Elemente de geometrie a triunghiului . — M .: MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Poveste

Gaiduk Yu. M., Khovansky AM Din istoria geometriei unui triunghi // Întrebări de istoria științelor fizice și matematice. - M . : Şcoala superioară, 1963. - S. 129-133. — 524 p.
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. clasele VII-VIII. Un ghid pentru profesori. - M . : Educaţie, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
Istoria matematicii, editat de A. P. Yushkevich în trei volume, M .: Nauka.
- Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
- Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
- Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Eseuri despre istoria trigonometriei: Grecia antică. Orientul medieval. Evul Mediu târziu. - Ed. al 2-lea. - M. : Librokom, 2012. - 160 p. - (Moștenirea fizico-matematică: matematică (istoria matematicii)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Un norvegian grozav Rusă mare Brockhaus și Efron Micul Brockhaus și Efron Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 11946969k J9U : 987007548775205171 LCCN : sh85137407 NKC : ph126753

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Milliogon
infinit

corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si