Curba

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 mai 2022; verificarea necesită 1 editare .

O curbă sau o linie este un concept geometric care este definit diferit în diferite secțiuni ale matematicii .

Geometrie elementară

În cadrul geometriei elementare, conceptul de curbă nu primește o formulare distinctă. De exemplu, în „Elementele” lui Euclid, a fost definit ca „lungime fără lățime”, iar uneori a fost definit și ca „granița unei figuri”.

În esență, în geometria elementară, studiul curbelor se reduce la luarea în considerare a exemplelor ( linie dreaptă , segment , linie întreruptă , cerc etc.). Lipsită de metode generale, geometria elementară a pătruns destul de adânc în studiul proprietăților curbelor betonului ( secțiuni conice , unele curbe algebrice de ordin superior și unele curbe transcendentale ), aplicând tehnici speciale în fiecare caz.

Definiție în topologie

Afișare segment de linie

Cel mai frecvent, o curbă este definită ca o mapare continuă de la un segment de linie la un spațiu topologic :

\gamma \colon [a,b]\la X

În acest caz, curbele pot fi diferite, chiar dacă imaginile lor sunt aceleași. Astfel de curbe sunt numite curbe parametrizate sau, dacă , căi . $[a,b]=[0,1]$

Relația de echivalență

Uneori, o curbă este definită până la o reparametrizare , adică până la o relație de echivalență minimă astfel încât curbele parametrice

\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X

și

\gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X

sunt echivalente dacă există o funcție monotonă continuă (uneori nedescrescătoare) de la segment la segment , astfel încât $h$ $[a_{1},b_{1}]$ $[a_{2},b_{2}]$

\gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.

Clasele de echivalență definite prin această relație se numesc curbe neparametrizate sau pur și simplu curbe .

Comentariu

Definiția de mai sus ne permite în mare măsură să transmitem ideea noastră intuitivă despre o curbă ca ceva „desenat fără a ridica creionul”, cu condiția să fie posibil să desenăm secțiuni infinit de lungi. Trebuie remarcat faptul că multe figuri care sunt greu de luat în considerare ca curbe pot fi, de asemenea, „desenate fără a ridica creionul”.

De exemplu, este posibil să se construiască o astfel de mapare continuă a unui segment într-un plan încât imaginea acestuia să umple un pătrat (vezi curba Peano ). În plus, conform teoremei lui Mazurkiewicz , orice spațiu topologic compact conectat și conectat local este o imagine continuă a unui segment. Astfel, nu doar un pătrat , ci și un cub de orice număr de dimensiuni și chiar o cărămidă Hilbert sunt imagini continue ale unui segment de linie.

Deoarece o imagine (figură) poate fi obținută prin mapări diferite ale unui segment (curbe), în cazul general, o curbă nu poate fi definită ca o imagine continuă a unui segment, cu excepția cazului în care sunt impuse restricții suplimentare mapării.

Curba Iordania

O curbă Jordan sau o curbă simplă este imaginea unei mapări injective continue ( încorporarea ) a unui cerc sau segment în spațiu. În cazul unui cerc, curba se numește curbă Jordan închisă , iar în cazul unui segment, se numește arc Jordan .

Cunoscuta teoremă Jordan afirmă că orice curbă închisă Jordan pe un plan o împarte într-o parte „interioară” și una „exterioară”.

Curba Jordan este un obiect destul de complex. De exemplu, este posibil să se construiască o curbă plană Jordan cu o măsură Lebesgue diferită de zero , care a fost realizată de Osgood [1] prin analogie cu curba Peano .

Definiție în analiză

În analiza matematică , definiția unei curbe netede este adesea folosită . Să definim mai întâi o curbă plană (adică o curbă în ). Fie și să fie funcții pe intervalul , care sunt diferențiabile continuu pe acest interval și astfel încât pentru no t este egal cu zero. Apoi maparea definește o curbă care este netedă; se spune că o curbă neparametrizată este netedă dacă admite o astfel de parametrizare. Lungimea unei curbe netede poate fi calculată folosind formula $\mathbb R^2$ $x(t)$ $YT)$ $[a,b]$ $(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}$ $\gamma :[a,b]\to {\mathbb R}^{2},t\mapsto (x(t),y(t))$

{\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} }\,dt.

Această definiție poate fi generalizată la mapările către alte spații, precum și la mapările unei alte clase de netezime, vezi mai jos.

Definiție în geometrie diferențială

Dacă este o varietate netedă , se poate defini o curbă netedă pe o hartă netedă a cărei diferență nu dispare nicăieri. Dacă clasa de netezime a varietății este , atunci curba - este introdusă ca o curbă pentru care este o mapare diferențiabilă de ori în mod continuu. Dacă este o varietate analitică (de exemplu, spațiu euclidian ) și este o hartă analitică , curba se numește analitică. $X$ $X$ $\gamma \colon [a,b]\la X$ $X$ $k$ $C_{k}$ $\gamma$ $k$ $X$ $\gamma$

Curbele netede și sunt numite echivalente dacă există un difeomorfism (modificarea parametrilor) astfel încât . Clasele de echivalență cu privire la această relație se numesc curbe netede neparametrizate. $\gamma _{1}\colon I\to X$ $\gamma _{2}\colon J\to X$ $p\colon I\la J$ $\gamma_1=\gamma_2\circ p$

Curbe algebrice

Curbele algebrice sunt studiate în geometria algebrică . O curbă algebrică plană este un set de puncte cu coordonatele x , y , un set dat de soluții ale ecuației f ( x , y ) = 0, unde f este un polinom în două variabile cu coeficienți în câmpul F . În geometria algebrică, de obicei se iau în considerare nu numai punctele ale căror coordonate aparțin lui F , ci și punctele cu coordonate în închiderea algebrică a lui F . Dacă C este o curbă algebrică plană astfel încât coeficienții polinomului care o definesc se află în câmpul F , se numește curbă definită peste F . Punctele unei curbe definite peste F ale căror coordonate aparțin lui G sunt numite raționale peste G (sau pur și simplu G -puncte). Exemplu: curba x 2 + y 2 + 1 = 0, definită peste numere reale , are puncte, dar niciunul dintre ele nu este un punct real.

Curbele algebrice pot fi definite și în spații de dimensiuni superioare ; ele sunt definite ca mulțime de soluții ale unui sistem de ecuații polinomiale .

Orice curbă plană poate fi completată la o curbă în planul proiectiv . Dacă o curbă plană este definită de un polinom f ( x , y ) de grad complet d , atunci polinomul

z^{d}\cdot f(x/z,y/z)

după extinderea parantezei se simplifică la un polinom omogen f ( x , y , z ) de grad d . Valorile x , y , z astfel încât f ( x , y , z ) = 0 sunt coordonate omogene ale finalizării curbei plane, în timp ce punctele curbei inițiale sunt punctele pentru care z nu este egal cu zero. Exemplu: curba Fermat x n + y n = z n în formă afină devine x n + y n = 1. Procesul de trecere de la o curbă afină la una proiectivă poate fi generalizat la dimensiuni superioare.

Exemple comune de curbe plane sunt conicul (curbe de ordinul doi) și curbele eliptice , care au aplicații importante în criptografie . Ca exemple de curbe algebrice date prin ecuații de grade superioare, se pot indica următoarele:

Curbe de ordinul al patrulea: lemniscata lui Bernoulli și ovalul lui Cassini .
Curbe de ordinul al șaselea: astroidul și nefroidul .
Curbă definită printr-o ecuație de grad arbitrar par: (multifocal) lemniscat .

Curbe transcendente

Curbele transcendentale sunt curbe care nu sunt algebrice. Mai exact, curbele transcendentale sunt curbe care pot fi definite ca linia de nivel a unei funcții analitice , dar nu algebrice (sau, în cazul multidimensional, un sistem de funcții). Exemple de curbe transcendentale:

Tipuri de curbe

O curbă închisă este o curbă al cărei început coincide cu sfârșitul.
O curbă plană este o curbă ale cărei puncte se află în același plan.
O curbă simplă este aceeași cu o curbă Jordan.
O cale este o mapare continuă a unui segment într-un spațiu topologic . $[0,1]$

Tipuri de puncte pe o curbă

Curbe generalizate

O definiție mai generală a unei curbe pentru cazul plan a fost dată de Cantor în anii 1870:

O curbă Cantor este un subset compact conex al planului, astfel încât complementul său este dens peste tot .

Un exemplu important de curbă Cantor este oferit de covorul Sierpinski . Indiferent de curba Cantor , aceasta poate fi încorporată într-un covor Sierpinski, adică covorul Sierpinski conține un subset care este homeomorf pentru . Astfel, covorul Sierpinski este o curbă universală Cantor plată. $L$ $L'$ $L$

Această definiție a fost ulterior generalizată de Uryson :

O curbă Urysohn este un spațiu topologic compact conex de dimensiunea topologică 1. $C$

Covorul Sierpinski satisface aceasta definitie, asa ca orice curba Cantor este si o curba Urysohn. În schimb, dacă o mulțime compactă conexă plată este o curbă Urysohn, atunci este o curbă Cantor.

Vezi și

Note

↑ WF Osgood. O curbă Jordan a zonei pozitive (engleză) // Trans. A.m. Matematică. Soc.. - 1903. - Vol. 4 . — P. 107–112 .

Literatură

Boltyansky V.G. , Efremovici V.A. Topologie vizuală. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Un curs de geometrie metrică. - Moscova, Izhevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2004. - 496 p. — (Matematică modernă). — ISBN 5-93972-300-4 .
Dicţionar enciclopedic matematic . M. " Enciclopedia Sovietică " , 1988
Curbe // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Link -uri

Caustice _
Suprafețe , curbe
curbe plane speciale [1] (rus.)

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea Hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius