Economia matematică este o sferă de activitate științifică teoretică și aplicată, al cărei scop este un studiu formalizat matematic al obiectelor, proceselor și fenomenelor economice. Alături de cele mai simple metode geometrice, în cadrul economiei matematice, sunt utilizate instrumentele de calcul integral și diferențial , algebra matriceală , programare matematică și alte metode de calcul, sunt compilate și rezolvate ecuații recurente și diferențiale [2] .
Limbajul matematicii permite economiștilor să formuleze ipoteze semnificative și testabile despre multe fenomene complexe, a căror descriere fără implicarea unui aparat matematic pare dificilă [3] . Mai mult, caracterul contradictoriu al unor fenomene economice face imposibilă studiul lor fără utilizarea matematicii [4] . Acum o parte semnificativă a relațiilor economice teoretice este reflectată în modele matematice [5] .
Economia matematică a făcut posibilă îmbunătățirea multor metode de cercetare economică, printre care:
Metodele de modelare matematică a fenomenelor și proceselor economice au fost utilizate pe scară largă încă din secolul al XIX-lea . Unul dintre primele instrumente comune a fost calculul diferenţial: economiştii au studiat procedura de maximizare a utilităţii gospodăriilor . Atunci arsenalul unui economist-cercetător a fost completat cu metode de optimizare matematică - o disciplină matematică aplicată despre găsirea valorilor extreme ale variabilelor. Dezvoltarea metodelor de optimizare a continuat în prima jumătate a secolului XX. La mijlocul secolului, datorită cerințelor timpului de război , domeniul de aplicare al metodelor matematice în economie a devenit și mai larg. Începând cu anii 1950, teoria jocurilor a devenit cel mai important instrument de modelare economică [10] [9] .
Procesul de sistematizare rapidă a teoriei economice a fost criticat de mulți oameni de știință autorizați. Keynes , Hayek și alți economiști eminenti credeau că nu orice aspect al comportamentului economic se pretează formalizării.
Conform Clasificării Subiectelor Matematice , economia matematică se află în Categoria Aplicată #91:
91 — Teoria jocurilor, economie, științe sociale, științe comportamentaleCodurile de tip sunt 91Axxatribuite subsecțiunii „Teoria jocurilor” [11] , codurile 91Bxx de tip - subsecțiunii „Economia matematică” [12] .
Manualul Elsevier de Economie Matematică în patru volume separă „metodele matematice în economie” și „domeniile economiei” în care se utilizează matematica [13] .
Aceeași diviziune este prezentă în Noul Dicționar de Economie al lui Palgrave . Indexul conține două categorii pentru articolele legate de matematică:
„Economia matematică” include 24 de articole, inclusiv „aciclicitate”, „problema de agregare”, „statică comparativă”, „ordonare lexicografică”, „modele liniare”, „ordonare” și „economie calitativă”; „Metode matematice” include 42 de articole, inclusiv „calcul variațiilor”, „teoria catastrofei”, „combinatorie”, „calculul echilibrului general”, „convexitate”, „programare convexă”, „control optim stocastic”.Clasificarea codului JEL este destul de comună , compilată inițial de editorii Journal of Economic Literature pentru a clasifica cărțile și articolele. Clasificarea JEL este compatibilă cu tipologia Noului Dicționar de Economie; mai jos sunt legături către secțiunile relevante din versiunea online a „New” [14] .
JEL: C01 — Econometrie JEL: C02 — Metode matematice JEL: C6 — Metode matematice; modele de programare; Modelare matematică și de simulare [15] JEL: C61 - Metode de optimizare; modele de programare; Analiză dinamică [16] JEL: C62 — Condiții pentru existența și stabilitatea echilibrului [17] JEL: C63 — Metode de calcul; Modelare prin simulare [18] JEL: C67 — Modele de echilibru intersectorial JEL: C68 — Modele calculabile de echilibru general [19] JEL: C7 — Teoria jocurilor și teoria negocierii [20] JEL: C71 — Jocuri cooperative [21] JEL: C72 — Jocuri necooperante [22] JEL: C73 — Jocuri stocastice și dinamice; jocuri evolutive; Jocuri recurente [23] JEL: C78 — Teoria negocierii; Teoria potrivirii [24]Economia modernă se bazează pe analiza matematică și pe algebra matriceală , fără de care ar fi mai dificil să descriem fenomenele economice. Astăzi, acest set de instrumente este folosit nu numai de economiștii școlii de matematică, ci și de orice teoreticieni care efectuează cercetări formale. Unele probleme au atât de multe variabile încât matematica devine singura modalitate posibilă de a le rezolva. Alfred Marshall a susținut că orice fenomen economic care poate fi cuantificat și exprimat analitic ar trebui supus unui studiu matematic [25] .
Instrumentele matematice ale economiei au devenit treptat mai complexe. Programele moderne de master în economie și finanțe necesită un fundal matematic semnificativ. Drept urmare, mulți absolvenți de matematică devin masteranzi și doctoranzi în economie. Problemele practice de economie sunt adesea rezolvate de matematicieni aplicați [26] .
Integrarea economiei și a matematicii se exprimă în construirea unor modele economice stilizate cu ipoteze strict prescrise și predicții falsificabile. Dacă Adam Smith a expus problemele economice în mod informal, sub forma unui text, atunci economia matematică oferă fenomenelor o interpretare formală strictă.
În general, modelele economice formale pot fi împărțite după două criterii: stocastic și determinist, precum și discret și continuu. Obiectul economiei ca știință este foarte extins, iar cercetătorii ei au creat în mod independent o mulțime de metodologii [27] .
Vilfredo Pareto a analizat deciziile microeconomice ale agenților ca pe o încercare de a trece de la o distribuție a resurselor la alta, mai preferabilă. Distribuția resurselor este considerată eficientă (sau optimă) conform lui Pareto, dacă s-a epuizat orice oportunitate de a îmbunătăți bunăstarea unuia dintre indivizi fără a înrăutăți bunăstarea celorlalți [28] . Dovada Pareto apare adesea în același context cu echilibrul Walrasian , precum și conjectura lui Adam Smith „ mâna invizibilă ” [29] . Formularea Pareto este prima afirmație cunoscută a teoremei, numită mai târziu prima teoremă a bunăstării [30] .
În celebra sa carte Foundations of Economic Analysis (1947), Paul Samuelson a pus bazele multor modele economice. Structura matematică propusă de el și-a găsit aplicație în diverse domenii ale economiei. Pe baza moștenirii lui Alfred Marshall , Samuelson a adaptat modelele matematice ale fizicii la specificul economic. Aceasta exprimă premisa principală a economiei matematice: comportamentul agenților economici poate fi modelat și descris ca orice alt sistem. Astfel, principiul lui Le Chatelier și procesul walrasian de bâjbâială (procesul de căutare iterativă a echilibrului) sunt relevante pentru sisteme de diferite tipuri, dar modelele pe care le descriu sunt similare. Samuelson a dezvoltat în esență teoria, ale cărei începuturi au fost puse de marginaliști . El a analizat problema optimizării utilității individuale din punctul de vedere al staticii comparative , atunci când se formează două echilibre și se compară ca urmare a unor schimbări exogene . Aceasta și alte metode descrise în carte au devenit baza pentru economia matematică a secolului al XX-lea [9] [31] . Algoritmul de bâjbâiat Walrasian a fost descris de Kenneth Arrow și Leonid Gurvich în 1958 [32] . Algoritmul este un produs al modelării simulării: pe baza rezultatelor fiecărei iterații, se determină valorile de utilitate, volumele cererii și ofertei, precum și cererea în exces. În următoarea iterație, licitatorul virtual oferă participanților virtuali un nou vector de preț. Scopul final este absența cererii în exces (precum și a ofertei în exces) pe toate piețele [33] .
Ecuații diferențialeUnul dintre pionierii modelării dinamice în științele economice a fost Louis Bachelier . Încercând să explice prețul opțiunilor folosind mișcarea browniană , el a fost unul dintre primii care a folosit ecuații diferențiale la construirea unui model financiar [34] . Ulterior, au apărut ecuații diferențiale în contextul modelelor macroeconomice, inclusiv al creșterii și al ciclurilor economice . Studiul sistemelor și proceselor dinamice ale macroeconomiei implică lucrul cu ecuații diferențiale. Ecuația lui Euler (diferențială sau diferență ) apare în lucrările macroeconomiștilor din anii 1920, în special în modelul de creștere al lui Frank Ramsey (1928) [35] . În a doua treime a secolului al XX-lea, ecuațiile diferențiale devin parte integrantă a celor mai mari modele de creștere ( Harrod-Domar [36] ) și ciclu ( Samuelson-Hicks [37] , Kaldor-Kalecki [38] ). Cu toate acestea, aplicarea lor nu se limitează la aceste secțiuni: ecuațiile se găsesc în alte secțiuni ale macroeconomiei ( modele de neechilibru [39] ) și construcții microeconomice, de exemplu, măsurile Arrow-Pratt ale aversiunii la risc [40] . Acest set de instrumente este folosit și de economiștii neortodocși , un exemplu tipic este modelul luptei de clasă al lui Goodwin [41] .
Declinul și creșterea calculului diferențialLucrările lui Von Neumann în analiza funcțională și topologia au stabilit noi relații între teoria economică și matematică [42] [43] . În același timp, calculul diferențial a început să fie folosit mai rar - nu permitea demonstrarea existenței echilibrului. Teoreticienii echilibrului general au ajuns să îi prefere topologia generală , geometria convexă și instrumentele de optimizare.
Cu toate acestea, calculul diferențial nu a dispărut niciodată din metodologia economică. Mai mult, și-a recâștigat pozițiile pierdute anterior în teoria echilibrului general. În anii 1960 și 1970, Gerard Debreux și Stephen Smale și- au dovedit existența datorită noilor descoperiri matematice: categoria Baer din topologia generală și teorema lui Sard din topologia diferențială. Metode diferențiale au fost folosite și de alți economiști cunoscuți: Egbert Dirker , Andreu Mas-Collell , Yves Balasco [44] [45] .
În 1937, John von Neumann a construit modele de echilibru general [42] . Spre deosebire de predecesorii săi, von Neumann a inclus în model constrângeri sub formă de inegalități. Aplicând teorema generalizată a punctului fix a lui Brouwer , el a demonstrat existența și unicitatea unui echilibru într-o economie în expansiune modelată de el. Fie vectorul aleator (transpus) să desemneze prețurile mărfurilor, iar vectorul aleatoriu să desemneze intensitatea procesului de producție. Matricele și conțin informații despre resursele cheltuite și respectiv producția [46] . Von Neumann a considerat creionul matrice , unde și sunt matrici nenegative; a încercat să găsească vectori aleatori și o constantă astfel încât
În același timp, sunt date două sisteme de inegalități care garantează eficiența economică. Singura soluție este rata de creștere a PIB , care este egală cu rata dobânzii . Demonstrarea existenței unei soluții pozitive și a egalității soluției cu rata dobânzii sunt realizări remarcabile pentru vremea lor [47] [48] . Rezultatele lui Von Neumann au fost considerate ca un caz special de programare liniară cu matrici nenegative [49] . Modelul von Neumann este încă de interes pentru cercetătorii din domeniul economiei computaționale [50] [51] [52] .
Bilanț interindustrialÎn 1936, economistul de origine rusă Wassily Leontiev a construit modelul de echilibru intrare-ieșire . Principalul său oțel au fost tabelele de bilanț al materialelor dezvoltate de economiștii sovietici, același bazat pe dezvoltarea fiziocraților . Modelul Leontief a legat procesele de producție și cererea, datorită căruia economiștii au învățat să prezică modul în care schimbările cererii într-o industrie ar afecta producția în alta [53] . Deși modelul a fost destul de simplu, estimarea coeficienților i- a permis lui Leontief să răspundă la câteva întrebări interesante.
Ipotezele modelului implică faptul că factorii de producție sunt adăugați doar în proporții fixe, indiferent de articolul produs - funcția de producție rezultată este numită după economist . Această ipoteză a facilitat calculele considerabil, dar acuratețea predicțiilor a trebuit să fie plătită pentru simplitate. Modelul economiei în expansiune al lui Von Neumann, dimpotrivă, este insensibil la funcția de producție, dar este necesar să se estimeze coeficienții pentru fiecare tehnologie separat [54] [55] .
Optimizarea matematică ( de asemenea programarea matematică) este înțeleasă ca găsirea celui mai bun (cel mai rău) element din setul de alternative [56] . În cel mai simplu caz, problema de optimizare presupune găsirea extremului unei funcții cu valori reale , adică determinarea acelor argumente în care funcția ia valoarea optimă. Soluția trebuie să satisfacă proprietățile de necesitate și suficiență. Într-un caz mai general, problema de optimizare este găsirea elementelor optime dintr-o anumită mulțime folosind diverse metode și algoritmi [57] .
O definiție binecunoscută a economiei ca știință spune: „este studiul comportamentului uman ca relație între scopuri și mijloace lipsă” [aprox. 1] [58] . Agenții economici trebuie să își optimizeze deciziile, ceea ce oferă o legătură inextricabilă între economie și optimizare. Problemele de optimizare pătrund în știința economică modernă. În microeconomie , aceasta este problema maximizării utilității și problema sa dublă de minimizare a costurilor pentru un anumit nivel de utilitate [59] . Teoria postulează că consumatorii obțin utilitate maximă într-un buget limitat . Firmele caută să extragă profitul maxim , ghidate de limitările funcției de producție , ale pieței resurselor și ale cererii de pe piața lor [60] .
Echilibrul economic este unul dintre elementele centrale ale analizei optimizării, deoarece orice teorie care poate fi testată pe baza datelor spune ceva despre echilibru [9] [61] . O tendință relativ nouă în programarea dinamică și modelarea optimă este legată de risc și incertitudine . Aplicațiile se găsesc în teoria portofoliului , economia informației , teoria căutării [60] .
Limbajul matematicii poate chiar descrie sistemul pieței în întregime. Exemple tipice în acest sens sunt prima și a doua teoremă fundamentală a bunăstării [62] și modelul de echilibru general Arrow-Debreux [63] . Mai exact, multe probleme economice au o soluție analitică , adică soluția este o formulă. Dacă o soluție analitică nu este posibilă, economiștii recurg la metode de calcul care sunt mediate de software [57] . Există modele computaționale de echilibru general [64] .
Programarea liniară și neliniară a influențat profund metodologia microeconomiei, care până atunci se baza exclusiv pe constrângeri de egalitate [65] . Mulți laureați ai premiului Nobel au fost implicați în programarea liniară , printre care Leonid Kantorovich , Leonid Gurvich , Tjalling Koopmans , Kenneth J. Arrow , precum și Robert Dorfman , Paul Samuelson , Robert Solow [66] . Kantorovich și Koopmans au primit premiul (1975) tocmai pentru dezvoltarea metodei. Ambii au recunoscut că contribuția lui George Danzig la dezvoltarea programării liniare a fost cel puțin egală cu a lor. Kantorovich, Gurvich, Koopmans, Arrow, Samuelson și Ragnar Frisch au creat premisele pentru apariția programării neliniare.
Programare liniarăMetoda de programare liniară a fost menționată pentru prima dată în lucrările lui Leonid Kantorovich la sfârșitul anilor 1930. A fost folosit de sovietici și, din anii 1940, de economiștii americani pentru a optimiza alocarea resurselor între firme și industrii. În timpul blocadei Berlinului de Vest (1948), programarea liniară a făcut posibilă planificarea aprovizionării cu alimente și prevenirea foametei [67] [68] .
Programare neliniarăOptimizarea neliniară cu constrângeri de inegalitate a apărut în 1951 când Albert Tucker și Harold Kuhn au rezolvat următoarea problemă de optimizare:
Minimizează ( ) în condițiile i ( ) ≤ 0 și j ( ) = 0, unde: ( . ) este funcția obiectiv de minimizat; i ( . ) (= 1, …,) sunt funcții corespunzătoareconstrângerilor sub formă de inegalități; j ( . ) ( = 1, …, ) sunt funcții corespunzătoare constrângerilor sub formă de egalități.Prin introducerea de constrângeri sub formă de inegalități, Kuhn și Tucker au generalizat metoda clasică a multiplicatorilor Lagrange , unde doar ecuațiile puteau fi inegalități [69] . Metoda a servit drept inspirație pentru noi studii ale dualității lagrangiane [70] [71] . Dualitatea în programarea neliniară este utilă în special în problemele de optimizare convexe , unde teoria dualității convexe a lui Fenchel și Rockafellar este relevantă . Pentru domeniile poliedrice convexe întâlnite în programarea liniară , dualitatea convexă se aplică în forma sa cea mai puternică. Dualitatea lagrangiană și analiza convexă sunt comune în cercetarea operațională, planificarea centralelor electrice, planificarea fabricii și planificarea companiilor aeriene [71] .
Calculul variațiilor și controlul optimDinamica economică implică o modificare a variabilelor semnificative din punct de vedere economic în timp, inclusiv în contextul sistemelor dinamice . Problemele de găsire a soluțiilor optime legate de aceste modificări sunt investigate în cadrul calculului variațiilor și al teoriei controlului optim . Chiar înainte de al Doilea Război Mondial, Frank Ramsay și Harold Hotelling au folosit calculul variațiilor pentru a studia fenomenele economice.
Cercetările economice bazate pe controlul optim au apărut după publicarea lucrărilor lui Richard Bellman și a unei echipe de autori conduse de L. S. Pontryagin (articolul sovietic a fost publicat anterior, dar traducerea în engleză a fost publicată după opera lui Bellman) [72] . Controlul optim a ajutat la găsirea echilibrului de creștere economică și a parametrilor de stabilitate a sistemelor economice [73] . Un exemplu de manual al unei astfel de probleme este căutarea nivelurilor optime de consum și economii [74] . Modelele de control pentru cazurile deterministe și stocastice diferă semnificativ [75] . Aceste metode sunt aplicabile și în gestionarea finanțelor, producției și stocurilor [76] .
Analiză funcționalăDemonstrând existența echilibrului în modelul de creștere economică, von Neumann a folosit aparatul de analiză funcțională . După ce a menționat teorema punctului fix în demonstrație, von Neumann a devenit un pionier al metodelor topologice în economie [10] [42] [77] . El a fost urmat de Arrow și Debreux, care au creat modele abstracte de echilibru economic folosind mulțimi convexe și teoria punctului fix. În 1954, au publicat un model în care au demonstrat existența unui echilibru și, de asemenea, au arătat că orice echilibru Walrasian este Pareto eficient. În cazul general, echilibrul nu este unic [78] . În construcția lor, spațiul vectorial „original” conține volumele de mărfuri vândute, iar conjugatul cu acesta conține prețurile acestora [79] .
Leonid Kantorovich a construit modele în spații vectoriale parțial ordonate , care au subliniat și dualitatea dintre prețuri și volume [80] . Kantorovich a numit prețurile „estimari determinate în mod obiectiv” (OOO), indicând fundalul politic al discuției despre prețuri în URSS [79] [81] [82] .
Analiza funcțională a îmbogățit semnificativ metodologia economică chiar și în cazul spațiilor cu dimensiuni finite. S-a constatat că vectorul prețului este normal hiperplanului, care este baza pentru un set convex de posibilități de producție sau consum. Optimizarea în timp sau în condiții de incertitudine necesită construcții în spații infinit-dimensionale, întrucât agenții economici fac alegerea între funcții sau procese aleatorii [79] [83] [84] [85] .
Dezvoltarea teoriei probabilităților și a statisticii matematice între războaiele mondiale, precum și apariția unor economiști competenți din punct de vedere matematic, au dat naștere econometriei , o metodologie aflată la intersecția dintre matematică, statistică și economie. Econometria este adesea înțeleasă ca aplicarea metodelor statistice în cercetarea economică, în principal regresii liniare și analize de serie de timp.
Termenul „econometrie” a fost inventat de Ragnar Frisch . În 1930 a contribuit la înființarea Societății Econometrice , iar în 1933 la revista Econometrica [86] [87] . Studentul Frisch Trygve Hovelmo a publicat în 1944 un articol „ The Probability Approach in Econometrics ”, în care susținea că modelele matematice din economie pot fi testate prin mijloace statistice riguroase, culegând date din mai multe surse [88] . Legătura dintre analiza statistică și teoria economică a fost propusă și în Comisia Coles (acum Fundația Coles ) [89] .
Începuturile econometriei moderne sunt văzute cu economistul american Henry L. Moore , care a studiat productivitatea agricolă. Prin diferite elasticități, el a încercat să coreleze productivitatea solului cu fluctuațiile cererii și ofertei de porumb și alte culturi. Matematica lui Moore a fost destul de slabă: a făcut mai multe greșeli, inclusiv a ales o specificație greșită a modelului. Acuratețea predicțiilor a fost limitată și de calitatea datelor. Primele sale modele au fost statice, iar în 1925 a prezentat un model dinamic de „echilibru în mișcare”, în care a încercat să explice natura ciclurilor economice. Variația periodică pe care a descris-o, cauzată de o supracorecție a cererii și ofertei, este acum cunoscută sub numele de modelul pânzei de păianjen . Interpretarea formală a acestui fenomen dată de Nicholas Kaldor [90] a câștigat o faimă deosebită .
În 1944, von Neumann și Oskar Morgenstern au făcut o descoperire când au început să formeze aparatul metodologic al teoriei jocurilor . Noua teorie s-a bazat pe proprietățile mulțimilor convexe și pe teoria topologică a unui punct fix [10] [43] . Au ocolit calculul diferențial, deoarece multe funcții întâlnite în teoria jocurilor sunt nediferențiabile. Dezvoltarea teoriei jocurilor cooperative a fost continuată de Lloyd Shapley , Martin Shubik, Herve Moulin, Nimrod Megiddo, Bezalel Peleg. Aplicațiile teoriei jocurilor s-au extins și dincolo de economie. Studiul jocurilor cooperative și al sistemelor de vot pentru corectitudinea câștigurilor a condus la modificarea regulilor de vot în legislatură și la o recalculare a costurilor în planificarea infrastructurii. Teoreticienii jocului cooperativ au fost aduși pentru a proiecta sistemul de apă din sudul Suediei și pentru a percepe liniile telefonice închiriate în Statele Unite.
Teoria neoclasică anterioară a subliniat doar gama de rezultate posibile ale jocului și au existat puține astfel de modele. Un exemplu este un monopol cu două fețe sau o curbă contractuală într-o casetă Edgeworth [91] . Potențialul predictiv al noilor modele era comparabil cu cel neoclasic. Cu toate acestea, rezultatele lui von Neumann și Morgenstern au dat impuls noilor descoperiri: înarmat cu teoreme de punct fix, John Nash a găsit condiții în care problema tranzacției și jocurile necooperative pot avea o soluție unică de echilibru [92] . Teoria jocurilor non-cooperative a devenit o parte integrantă a economiei experimentale [93] , economia comportamentală [94] , economia informației [95] , teoria pieței industriale [96] și economia politică [97] . Bazat pe teoria jocurilor, s-a născut proiectarea mecanismelor , uneori numită teoria jocurilor inverse. Subiectul cercetării în proiectarea mecanismelor îl constituie stimulentele pentru schimbul de informații - principiile construcției lor optime sunt aplicabile atât în politicile publice, cât și în inițiativele economice private [98] .
În 1994, Nash, John Harsanyi și Reinhard Selten au primit Premiul Nobel Memorial pentru studiul lor despre jocurile non-cooperative. În plus, au fost recunoscute contribuțiile lui Harsanyi și Selten la studiul jocurilor repetitive . Ulterior, rezultatele lor au fost adaptate pentru metodele de modelare computațională [99] .
Economia computațională bazată pe agenți (AVE, în engleză economia computațională bazată pe agenți ) este o direcție științifică relativ nouă care a apărut în anii 1990. AVE este angajat în studiul obiectelor economice ca sisteme dinamice care apar și se schimbă ca urmare a interacțiunii consistente a agenților economici. Obiectul satisface definiția unui sistem adaptativ complex [100] . Agenții modelați apar nu ca indivizi reali, ci ca „obiecte computaționale care interacționează după anumite reguli”, iar „interacțiunea la nivel micro formează noi modele” în timp și spațiu [101] . Regulile definesc comportamentul și interacțiunea agenților în conformitate cu stimulentele disponibile și cu informațiile de care dispun. Este slăbită ipoteza despre comportamentul optim (din punct de vedere matematic) al agenților: se introduce principiul raționalității mărginite , conform căruia agenții se adaptează la condițiile pieței [102] .
Modelele AVE, după cum sugerează și numele, se bazează pe metode de analiză numerică asemănătoare cu simulările computerizate . Participarea calculatoarelor se datorează imposibilității soluționării analitice a problemelor dinamice complexe [103] . În prima etapă a modelării, sunt determinate condițiile inițiale, după care agenții interacționează în mod repetat între ei, formând un sistem economic . În acest sens, AVE este clasificată ca o metodă „de jos în sus” (de la cel mai mic la cel mai mare), făcând o analogie cu abordarea in vitro în biologie [104] . Evenimentele generate în modelele AVE depind doar de condițiile inițiale, ceea ce distinge metoda de alte instrumente de modelare. Existența unui echilibru și simplitatea găsirii acestuia nu sunt fundamentale. În același timp, agenții sunt capabili să se adapteze, să învețe și sunt autonomi [105] . Metodologia AVE este în multe privințe similară cu cea teoretică a jocului, care este în esență o modelare bazată pe agenți a interacțiunilor sociale [99] . AVE abordează probleme legate de concurență și cooperare [106] , structura pieței și piețele industriale [107] , costurile de tranzacție [108] , economia bunăstării [109] și proiectarea mecanismelor [98] , informații și incertitudine [110] , macroeconomie [ 111] [112] .
Odată cu dezvoltarea informaticii și a puterii de calcul, metoda devine din ce în ce mai atractivă. Problemele AVE sunt parțial dictate de dificultățile inerente economiei experimentale în ansamblu [113] , parțial de specificul lor [114] ; AVE va trebui să standardizeze abordarea validării empirice și să abordeze întrebările deschise existente [115] . Scopul final al metodei se numește „testarea descoperirilor teoretice pe date reale”, iar testele trebuie să mențină compatibilitatea teoriei bazate pe empiric; teoriile se vor acumula, iar „lucrarea fiecărui cercetător ulterior se va baza în mod corespunzător pe rezultatele anterioare” [aprox. 2] [116] .
Istoria aplicării aparatului matematic pentru nevoile științelor sociale datează din secolul al XVII-lea . Profesorii universitari, predominant germani , au dezvoltat un nou stil de predare - o prezentare detaliată a datelor semnificative din punct de vedere social. Gottfried Achenwall , care a predat în acest stil, a sugerat să-l numească statistică . În paralel, un grup de profesori englezi a creat o metodă de „argumentare numerică a politicii statului”, care a fost numită aritmetică politică [117] . Categoriile economice studiate de economistul englez William Petty - impozitarea, viteza banilor, venitul național - au ocupat ulterior locul central în economie. Petty a lucrat cu date cantitative, dar a respins metodologia matematică abstractă. Atât Petty, cât și fondatorul demografiei , John Graunt , au fost în mare măsură ignorați de contemporanii lor, deși au avut o anumită influență asupra economiștilor și statisticienilor englezi [118] .
Matematizarea extensivă a științei economice a început în secolul al XIX-lea . Școala clasică emergentă de economie politică a reunit economiști care au studiat economiile țărilor vest-europene. Aproape toată teoria clasică poate fi reprezentată sub forma celor mai simple obiecte geometrice și analitice. Miezul metodei clasice a fost algebra; calculul diferenţial nu a fost încă folosit. În 1826, a fost publicată celebra lucrare a lui Johann von Thünen „Statul izolat” ( germană: Der Isolierte Staat ), care conține un model comportamental abstract, enunțat clar în limbajul matematicii. Modelând exploatarea terenurilor agricole, von Thunen a fost primul din istorie care a luat în considerare valorile marginale [aprox. 3] [119] [120] . Von Thunen era interesat de întrebările de teorie, dar a folosit date empirice pentru a-și confirma concluziile . Spre deosebire de mulți contemporani, economistul german nu a explorat fenomene noi cu metodele existente, dezvoltând modele și instrumente originale [121] .
Alți economiști au încercat să rezolve probleme economice prin adaptarea modelelor matematice ale fizicii [122] . Această tendință este acum caracterizată ca o tranziție de la gândirea geometrică la mecanică [123] . În 1862, William Stanley Jevons a publicat „o teorie matematică generală a economiei politice” [aprox. 4] , în care conceptul de utilitate marginală a fost fragmentat [124] . În 1871, economistul a prezentat în atenția publicului Principiile economiei politice . Jevons a sugerat că subiectul economiei ar trebui să fie banal din punctul de vedere al matematicii, deoarece această știință operează cu indicatori cantitativi [aprox. 5] . El credea că colectarea datelor privind tranzacțiile - volume și prețurile vânzărilor - este suficientă pentru a crea o știință exactă pe baza economiei politice [125] .
Economiștii francezi Auguste Cournot și Leon Walras au construit axiomatica economiei în jurul utilității bunurilor. Oamenii de știință au susținut că indivizii caută să obțină cel mai util set de beneficii pentru ei înșiși, iar procedura de selecție poate fi descrisă matematic [26] . Se credea că utilitatea este cuantificabilă; a fost propusă chiar o unitate ipotetică de utilitate - util [aprox. 6] . Cournot, Walras și economistul britanic Francis I. Edgeworth sunt precursorii economiei matematice moderne [126] .
În 1838, a fost publicată lucrarea „Investigations into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth”, unde profesorul de matematică Auguste Cournot a prezentat un model al unui duopol - o piață cu doi producători [126] [127] . Cournot a presupus că vânzătorii simetrici (care au acces egal la piață) nu suportă costuri. În plus, bunurile sunt omogene , adică sunt complet identice în mintea consumatorului. Fiecare dintre vânzători își determină volumul de producție, pe baza alegerii corespunzătoare a adversarului; pretul se stabileste in functie de oferta totala. Deoarece nu există costuri, profitul este egal cu venitul, adică produsul prețului cu cantitatea de produse vândute. Diferențierea ambelor funcții de profit în funcție de volumul vânzărilor oferă un sistem de ecuații liniare , a căror soluție permite obținerea de indicatori de echilibru ai producției, prețurilor și calcularea profitului [128] .
Timp de decenii, contribuția lui Cournot la dezvoltarea metodelor matematice ale economiei a trecut neobservată. Ulterior, construcțiile sale au inspirat mulți marginaliști [128] [129] . Modelul duopol a fost unul dintre primele jocuri non-cooperative , adică Cournot a anticipat apariția teoriei jocurilor cu mai bine de o sută de ani. În termeni moderni, Cournot a găsit soluția de echilibru Nash a jocului duopol [130] .
Echilibrul găsit de Cournot este parţial , în timp ce cel general a fost studiat de Leon Walras . Walras a considerat fiecare agent economic atât ca producător, cât și ca consumator. El a dezvoltat patru modele de schimb în economie, fiecare model ulterior generalizându-l pe cel anterior. Echilibrul general a fost găsit ca soluție a unui sistem de ecuații, liniare și neliniare [131] . Rezolvarea unui sistem cu un număr arbitrar de ecuații în acel moment nu era posibilă, dar Walras a obținut totuși câteva rezultate importante, și anume așa-numitele. Legea lui Walras și procesul de bâjbâială . Opera sa a fost matematizată într-un mod fără precedent pentru vremea ei, așa cum a scris și Edgeworth în recenzia sa despre Elementele de economie pură din Walras ( franceză: Éléments d'économie politique pure ) [132] .
Legea lui Walras – costul mărfurilor cerute în economie este egal cu costul mărfurilor vândute – oferă o soluție la problema echilibrului general. Formulările moderne și originale sunt diferite. Walras a presupus că în echilibru toate bunurile vor fi cumpărate și toți banii vor fi cheltuiți. Acest lucru i-a permis să arate că într-o economie cu piețe, echilibrul oricăror piețe garantează echilibrul și pe a n-a. Cel mai ușor este să ilustrăm legea pentru cazul a două piețe: mărfuri și bani. Dacă monetarul (marfa) a atins o stare de echilibru, nici o singură marfă (unitatea monetară) nu poate părăsi piața sau intra în ea. Prin urmare, a doua piață este și ea în echilibru [133] . John Stuart Mill a exprimat o idee similară încă din 1844, dar nu a prezentat un argument formal [134] .
Procesul de fumbling ( fr. tâtonnement ) a fost creat ca o expresie practică a echilibrului general walrasian. Făcând abstracție, el și-a imaginat piața ca pe o mare licitație, unde licitatorul anunță pe rând diverse opțiuni de preț (se anunță prețurile pentru toate bunurile posibile - vorbim de echilibru general). Cumpărătorii așteaptă până li se oferă o opțiune satisfăcătoare, adică prețuri care să le permită să cumpere toate mărfurile pe care le doresc în cantitatea necesară [135] . Apoi se fac tranzacții adecvate și piața este compensată - nu există lipsă sau surplus de bunuri. Mișcarea pieței spre curățare, adică succesiunea prețurilor în gura licitatorului, se numește bâjbâială. Procedura pare a fi dinamică, dar modelul walrasian este static: tranzacțiile nu au loc până când toate piețele sunt în echilibru. De fapt, această stare de fapt este extrem de rară [136] .
În 1881, a fost publicat tratatul lui Francis Edgeworth Mathematical Psychics , care a fost poziționat în mod explicit ca un studiu în domeniul economiei matematice [138] . Edgeworth a adoptat de la Jeremy Bentham o abordare numită „ calcul hedonist ” [139] ( eng. felicific calculus ), care a făcut posibilă măsurarea utilităţii subiective a oricărei decizii economice [140] . Pe baza „calcului”, Edgeworth a construit un model de schimb economic făcând trei ipoteze:
O interpretare grafică a modelului cu doi agenți, cunoscut acum sub numele de cutia Edgeworth , a fost publicată în 1924 de Arthur Bowley [142] . Setul de decizii în care ambii indivizi ating utilitatea maximă este descris de o curbă contractuală (contractală) . Curba, precum și generalizarea ei la cazul n-dimensional, se numesc nucleul economiei [143] .
Edgeworth a insistat că metodele matematice bazate pe dovezi ar trebui să fie adoptate de toate școlile de gândire economică. În timp ce era șeful The Economic Journal , el a produs o serie de publicații critice despre colegi a căror cercetare nu a fost suficient de riguroasă. Printre alții, Edwin Seligman , cunoscut pentru scepticismul său față de economia matematică, a fost criticat [144] . Articolele s-au ocupat în principal de sarcina fiscală și de impactul acesteia asupra comportamentului producătorilor. Edgeworth a studiat piețele de monopol, unde oferta unui bun depinde de oferta unui alt bun, iar cererea este independentă (un exemplu este piața călătoriilor aeriene: clasa economică și clasa de serviciu sunt destinate diferitelor segmente de piață, dar transportul este efectuat. ieșit cu aceeași aeronavă). S-a dovedit că majorarea taxei ar putea scădea prețul final al unuia dintre bunurile dependente, chiar dacă bunul simț și metodele tradiționale de calcul sugerau altfel. Seligman a susținut că rezultatul obținut nu a fost altceva decât un capriciu rezultat din formularea matematică a problemei. Potrivit lui Seligman, paradoxul a apărut din cauza continuității funcției cererii și a modificării infinitezimale a impozitului. Harold Hotelling a confirmat ulterior corectitudinea lui Edgeworth arătând că aceeași situație este posibilă atât cu o funcție discontinuă a cererii, cât și cu modificări mari ale cotei de impozitare [145] .
La sfârșitul anilor 1930, instrumentele matematice ale economiștilor s-au extins semnificativ. În cercetarea economică, calculul diferențial și ecuațiile diferențiale au început să fie aplicate, iar graficele au coexistat cu mulțimi convexe . Teoria economică s-a dezvoltat prin asimilarea metodelor matematice; fizica a urmat o cale similară [10] [146] . Au apărut analogii între matematizarea economiei și trecerea de la mecanică la axiomatică [147] .
De-a lungul secolului al XX-lea, marea majoritate a publicațiilor economice din principalele reviste științifice [148] au aparținut economiștilor angajați în organizații academice. Ca urmare, cea mai mare parte a materialului era într-un fel sau altul legat de teorie, în timp ce teoria economică însăși „devenise din ce în ce mai abstractă și matematică” [aprox. 8] [149] . O evaluare subiectivă [150] a amplorii de aplicare a metodelor matematice în reviste economice de top a arătat că numărul articolelor fără formule și ilustrații matematice a scăzut de la 95% în 1892 la 5,3% în 1990 [151] . Un sondaj al editorilor a zece reviste de top a arătat că doar 5,8% din articolele publicate în 2003-2004 nu conţin nici analiză de date, nici expresii matematice (numerotate) [152] .
Friedrich von Hayek credea că metodele formale sunt inaplicabile pentru modelarea agenților economici reali, ale căror informații despre lumea înconjurătoare sunt limitate [153] .
Istoricul gândirii economice Robert Heilbroner a susținut că matematizarea și „supraîncărcarea de date” au făcut ca analiza economică să fie științifică [154] . Observând că aparența metodei științifice nu garantează adevărata ei prezență, el a fost înclinat să considere economia matematică ca o știință [154] [aprox. 9] . În același timp, a considerat nepotrivită interpretarea matematică a multor probleme economice, întrucât acestea au un caracter necantitativ [aprox. 10] [155] .
În anii 1940 și 1950, filosoful Karl Popper a vorbit despre poziția economiei ca știință. Popper a considerat economia matematică ca fiind tautologică: de îndată ce economia a devenit o teorie matematică, economia matematică cu dovezile ei riguroase a încetat în cele din urmă să infirme ipotezele empiric [156] . Popper credea că ipotezele falsificabile pot fi testate prin observație sau experiment, în timp ce cele nefalsificabile trebuie studiate prin matematică, care va deduce consecințe din ele și va verifica coerența cu alte ipoteze [157] .
Milton Friedman a împărtășit scepticismul lui Popper cu privire la presupuneri; l-au interesat nu numai în contextul metodelor matematice, ci și în restul științei economice. Friedman a argumentat: „nicio presupunere nu este realistă” [aprox. 11] . Economistul a propus să evalueze calitatea modelului în ceea ce privește acuratețea prognozei, și nu adecvarea ipotezelor [158] .
În „The General Theory ” (1936), Keynes a scris: [159]
Un defect major în formalizarea analizei economice cu ajutorul simbolismului pseudo-matematic... constă tocmai în faptul că toate aceste construcții pornesc în mod explicit din asumarea independenței stricte a factorilor introduși în analiză și pierd toate valabilitatea şi semnificaţia lor odată cu dispariţia acestei ipoteze. Între timp, atunci când nu ne limităm la manipulări mecanice, ci știm constant ce facem și ce înseamnă cuvintele pe care le folosim, putem păstra „în minte” rezervele și corecțiile necesare pe care ulterior va trebui să le facem; dar în nici un fel nu putem ține „în minte” derivate parțiale complexe în același mod pentru mai multe pagini de calcule algebrice, iar aceasta este la fel ca și cum toate dispar. Prea mare parte din „economia matematică” de astăzi este, în esență, un simplu amestec, la fel de inexact precum ipotezele originale pe care se bazează, iar autorii sunt capabili să uite de relațiile și interconexiunile complexe ale lumii reale, devenind blocați într-un labirint de simboluri pretenţioase şi inutile. [aproximativ. 12]
Răspunzând criticilor, Paul Samuelson a formulat argumentul lui Josiah W. Gibbs că matematica este doar un limbaj. În economie, acest limbaj este necesar pentru a exprima multe întrebări importante. Mai mult, limbajul matematic a permis dezvoltarea teoriei economice la nivel conceptual [160] . Potrivit lui Samuelson, în absența unui limbaj matematic, puțini ar înțelege microeconomia; cu o pregătire matematică adecvată, majoritatea o vor stăpâni fără dificultate [aprox. 13] [161]
Robert Solow (1988) concluzionează că economia matematică este infrastructura teoriei economice moderne. Orice încercare de a înțelege lumea modernă, crede el, necesită un apel fie la economia tehnică, fie la istorie - nicio altă metodologie nu va da un răspuns [aprox. 14] [162] .
Ramuri ale matematicii | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Portalul „Știință” | ||||||||||
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii | ||||||||||
Teoria numerelor ( aritmetică ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|