Istoria matematicii

Istoria matematicii
Tema principală matematica
Site-ul Stack Exchange hsm.stackexchange.com
 Fișiere media la Wikimedia Commons
Istoria științei
După subiect
Matematica
Stiintele Naturii
Astronomie
Biologie
Botanică
Geografie
Geologie
stiinta solului
Fizică
Chimie
Ecologie
Stiinte Sociale
Poveste
Lingvistică
Psihologie
Sociologie
Filozofie
Economie
Tehnologie
Inginerie calculator
Agricultură
Medicamentul
Navigare
Categorii

Acest articol este o prezentare generală a principalelor evenimente și tendințe din istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până în zilele noastre.

În istoria matematicii , există mai multe clasificări ale istoriei matematicii, conform uneia dintre ele, se disting mai multe etape în dezvoltarea cunoștințelor matematice:

  1. Formarea conceptului de figură geometrică și număr ca idealizare a obiectelor reale și a mulțimilor de obiecte omogene. Apariția numărării și măsurării, care a făcut posibilă compararea diferitelor numere, lungimi, suprafețe și volume.
  2. Invenția operațiilor aritmetice. Acumularea empirică (prin încercare și eroare) a cunoștințelor despre proprietățile operațiilor aritmetice, despre metode de măsurare a ariilor și volumelor figurilor și corpurilor simple. Matematicienii sumero-babilonieni , chinezi și indieni din antichitate au avansat mult în această direcție .
  3. Apariția în Grecia antică a unui sistem matematic deductiv care arăta cum să se obțină noi adevăruri matematice pe baza celor existente. Elementele lui Euclid , care au jucat rolul unui standard de rigoare matematică timp de două milenii, au devenit realizările de vârf a matematicii grecești antice .
  4. Matematicienii țărilor islamice nu numai că au păstrat realizările străvechi, dar au putut și să le sintetizeze cu descoperirile matematicienilor indieni, care au avansat mai departe decât grecii în teoria numerelor.
  5. În secolele XVI-XVIII, matematica europeană a renascut și a fost mult avansată. Baza sa conceptuală în această perioadă a fost credința că modelele matematice sunt un fel de schelet ideal al Universului [1] , și prin urmare descoperirea adevărurilor matematice este în același timp descoperirea de noi proprietăți ale lumii reale. Principalul succes pe această cale a fost dezvoltarea modelelor matematice ale dependenței variabilelor ( funcția ) și teoria generală a mișcării ( analiza infinitezimale ). Toate științele naturii au fost reconstruite pe baza modelelor matematice recent descoperite, iar acest lucru a dus la progresul lor colosal .
  6. În secolele al XIX-lea și al XX-lea, devine clar că relația dintre matematică și realitate este departe de a fi atât de simplă cum părea înainte. Nu există un răspuns universal acceptat la un fel de „întrebare de bază a filozofiei matematicii ” [2] : a găsi motivul „eficacității de neînțeles a matematicii în științele naturii” [3] . În acest sens, și nu numai în acest sens, matematicienii s-au împărțit în multe școli de dezbatere . Au apărut mai multe tendințe periculoase [4] : specializarea excesiv de îngustă, izolarea de problemele practice etc. În același timp, puterea matematicii și prestigiul ei, susținute de eficacitatea aplicării sale, sunt mai mari ca niciodată.

Pe lângă marele interes istoric, analiza evoluției matematicii are o importanță deosebită pentru dezvoltarea filozofiei și metodologiei matematicii. Adesea, cunoașterea istoriei contribuie și la progresul unor discipline matematice specifice; de exemplu, problema antică chineză (teorema) despre resturile a format o secțiune întreagă a teoriei numerelor - teoria congruențelor modulo [5] .

Apariția aritmeticii și a geometriei

Matematica în sistemul cunoașterii umane este o secțiune care se ocupă de concepte precum cantitate , structură , raport etc. Dezvoltarea matematicii a început odată cu crearea artelor practice de numărare și măsurare a liniilor , suprafețelor și volumelor .

Conceptul de numere naturale s-a format treptat și s-a complicat de incapacitatea omului primitiv de a separa abstracția numerică de reprezentarea ei concretă. Drept urmare, contul a rămas multă vreme doar material - au fost folosite degete, pietricele, urme etc.. Arheologul B. A. Frolov fundamentează existența relatării deja în paleoliticul superior [6] .

Odată cu răspândirea numărării la cantități mai mari, a apărut ideea de a număra nu numai pe unități, ci și, ca să spunem așa, pe pachete de unități care conțin, de exemplu, 10 obiecte. Această idee s-a reflectat imediat în limbaj, apoi în scris. Principiul denumirii sau descrierii unui număr (numerotare) poate fi [7] :

Pentru a reține rezultatele contului s-au folosit crestături, noduri etc.. Odată cu inventarea scrisului, au început să fie folosite litere sau icoane speciale pentru a prescurta numerele mari. Cu o astfel de codificare, a fost de obicei reprodus același principiu de numerotare ca și în limbaj.

Numele numerelor de la doi (zwei, doi, duo, deux, dvi, doi ...) până la zece, precum și zeci și numărul 100 în limbile indo-europene sunt similare. Acest lucru sugerează că conceptul de număr abstract a apărut cu mult timp în urmă, chiar înainte de separarea acestor limbi. În formarea numerelor în rândul majorității popoarelor, numărul 10 ocupă o poziție specială, așa că este clar că numărarea pe degete era larg răspândită. De aici provine sistemul numeric zecimal omniprezent . Deși există și excepții: 80 în franceză este quatre-vingt (adică 4 twenty), iar 90 este quatre-vingt-dix (4 * 20 + 10); această utilizare se întoarce la numărarea degetelor de la mâini și de la picioare. Cifrele limbilor daneză, osetă și abhaziană sunt aranjate în mod similar. Numărarea cu douăzeci în georgiană este și mai clară. Sumerienii și aztecii, judecând după limbă, au fost inițial considerați cinci.

Există și opțiuni mai exotice. Babilonienii au folosit sistemul sexagesimal în calculele științifice . Și nativii din Insulele Strâmtorii Torres - binar [7] :

Urapun (1); Okoza (2); Okoza-Urapun (3); Okoza-Okoza (4); Okoza-Okoza-Urapun (5); Okoza-Okoza-Okoza(6)

Când conceptul de număr abstract a fost în sfârșit stabilit, operațiunile cu numere au devenit următorul pas. Un număr natural  este o idealizare a unui set finit de obiecte omogene, stabile și indivizibile (oameni, oi, zile etc.) [8] . Pentru numărare, trebuie să aveți modele matematice ale unor evenimente atât de importante, cum ar fi unirea mai multor mulțimi într-una sau, dimpotrivă, separarea unei părți a unei mulțimi. Așa au apărut operațiile de adunare și scădere [9] . Înmulțirea pentru numere naturale a apărut ca, ca să spunem așa, adunare în lot [10] . Proprietățile și interconectarea operațiunilor au fost descoperite treptat.

O altă acțiune practică importantă - împărțirea în părți - a fost în cele din urmă abstractizată în a patra operație aritmetică - împărțirea [11] . Împărțirea în 10 părți este dificilă, așa că fracțiile zecimale , convenabile în calcule complexe, au apărut relativ târziu. Primele fracții aveau de obicei un numitor de 2, 3, 4, 8 sau 12. De exemplu, la romani, fracția standard era o uncie (1/12). Sistemele monetare și de măsurare medievale poartă o amprentă clară a sistemelor antice non-zecimale: 1 pence englezesc \u003d 1/12 șiling , 1 inch \u003d 1/12 foot , 1 foot \u003d 1/3 yard etc.

Cam în același timp cu numerele, omul a abstras forme plate și spațiale. Ei au primit de obicei numele de obiecte reale asemănătoare lor: de exemplu, printre greci „ rhombos ” înseamnă un vârf, „trapedsion” - o masă ( trapez ), „ sferă ” - o minge [12] .

Teoria măsurătorilor a apărut mult mai târziu și conținea adesea erori: un exemplu tipic este doctrina falsă a egalității ariilor figurilor cu egalitatea perimetrelor lor și invers. Acest lucru nu este surprinzător: o frânghie de măsurare cu noduri sau semne a servit ca instrument de măsurare, astfel încât a fost posibil să se măsoare perimetrul fără dificultate, iar în cazul general nu existau instrumente sau metode matematice pentru a determina zona . Măsurătorile au servit ca cea mai importantă aplicație a numerelor fracționale și ca sursă de dezvoltare a teoriei lor.

Orientul antic

Egipt

Cele mai vechi texte matematice egiptene datează de la începutul mileniului II î.Hr. e. Matematica a fost folosită atunci în astronomie, navigație, topografie, în construcția de case, baraje, canale și fortificații militare. Nu existau așezări monetare, precum banii înșiși, în Egipt. Egiptenii au scris pe papirus, care este prost conservat și, prin urmare, în prezent, există mult mai puține cunoștințe despre matematica Egiptului decât despre matematica Babilonului sau Greciei. Probabil că a fost mai bine dezvoltat decât se poate imagina din documentele care au ajuns până la noi, ceea ce este confirmat de faptul că matematicienii greci au studiat cu egiptenii [C 1] .

Principalele surse care au supraviețuit sunt papirusul Ahmes , alias papirusul Rinda (84 de probleme matematice) și papirusul Golenishchev din Moscova (25 de probleme), ambele din Regatul Mijlociu , perioada de glorie a culturii egiptene antice. Autorii textului ne sunt necunoscuți.

Toate sarcinile din papirusul lui Ahmes (scris în jurul anului 1650 î.Hr.) sunt aplicate în natură și sunt legate de practica construirii, delimitarea terenurilor etc. Sarcinile sunt grupate nu pe metode, ci pe subiecte. În cea mai mare parte, acestea sunt sarcini pentru găsirea ariilor unui triunghi, patrulatere și cerc, diverse operații cu numere întregi și fracții alicote , împărțirea proporțională, găsirea de rapoarte, ridicarea la diferite puteri, determinarea mediei aritmetice , progresiile aritmetice , rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II cu o necunoscută [ 13] .

Nu există absolut nicio explicație sau dovezi. Rezultatul dorit este fie dat direct, fie un scurt algoritm pentru calculul acestuia.

Această metodă de prezentare, tipică științei țărilor din Orientul antic, sugerează că acolo matematica s-a dezvoltat prin generalizări inductive și presupuneri care nu au format nicio teorie generală. Cu toate acestea, există o serie de dovezi în papirus că matematica din Egiptul antic din acei ani a avut sau cel puțin a început să dobândească un caracter teoretic. Deci, matematicienii egipteni știau să extragă rădăcini și să ridice la putere, să rezolve ecuații, erau familiarizați cu progresia aritmetică și geometrică și chiar dețineau rudimentele algebrei : atunci când rezolvau ecuații, o „grămadă” specială hieroglifă denota necunoscutul.

În domeniul geometriei, egiptenii cunoșteau formule exacte pentru aria unui dreptunghi , triunghi și trapez . Aria unui patrulater arbitrar cu laturile a, b, c, d a fost calculată aproximativ ca

Această formulă brută oferă o precizie acceptabilă dacă cifra este aproape de un dreptunghi. Aria cercului a fost calculată pe baza ipotezei

= 3,1605 (eroare mai mică de 1%) [14] .

Egiptenii cunoșteau formule exacte pentru volumul unui paralelipiped și diferite corpuri cilindrice, precum și o piramidă și o piramidă trunchiată. Să avem o piramidă trunchiată regulată cu latura bazei inferioare a , b superioară și înălțimea h ; apoi volumul a fost calculat conform cu formula originală, dar exactă:

.

Nu există informații despre dezvoltarea anterioară a matematicii în Egipt. Cam mai târziu, până în epoca elenismului  – de asemenea. După aderarea lui Ptolemei , începe o sinteză extrem de fructuoasă a culturilor egiptene și grecești.

Babilon

Babilonienii au scris în semne cuneiforme pe tăblițe de lut, care au supraviețuit în număr considerabil până în prezent (mai mult de 500 de mii, dintre care aproximativ 400 sunt asociate cu matematica). Prin urmare, avem o imagine destul de completă a realizărilor matematice ale oamenilor de știință din statul babilonian . Rețineți că rădăcinile culturii babiloniene au fost în mare măsură moștenite de la sumerieni  - scriere cuneiformă, tehnici de numărare etc.

Tehnica de calcul babiloniană era mult mai perfectă decât cea egipteană , iar gama de sarcini de rezolvat era mult mai largă. Există sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul doi, progresii geometrice . La rezolvare s-au folosit proporții , medii aritmetice și procente. Metodele de lucru cu progresiile erau mai profunde decât cele ale egiptenilor . Ecuațiile liniare și pătratice au fost rezolvate încă din epoca lui Hammurabi ; în timp ce s-a folosit terminologia geometrică (produsul ab se numea zonă, abc se numea  volum etc.). Multe dintre icoanele pentru monomii erau sumeriene, din care se poate deduce vechimea acestor algoritmi ; aceste semne au fost folosite ca desemnări de litere de necunoscute în algebra noastră. Există, de asemenea, ecuații cubice și sisteme de ecuații liniare . Coroana planimetriei a fost teorema lui Pitagora , cunoscută încă din epoca lui Hammurabi.

Sumerienii și babilonienii au folosit sistemul numeric pozițional 60 , imortalizat în împărțirea noastră a cercului în 360°, ora în 60 de minute și minutul în 60 de secunde. Pentru înmulțire a fost folosit un set voluminos de tabele. Pentru a calcula rădăcinile pătrate, babilonienii au inventat un proces iterativ: a fost obținută o nouă aproximare din cea anterioară folosind formula metodei lui Newton :

În geometrie, au fost considerate aceleași figuri ca în Egipt , plus un segment de cerc și un trunchi de con . Documentele timpurii sugerează ; mai târziu se întâlnește aproximarea 25/8 = 3,125. Babilonienii știau să calculeze ariile poligoanelor regulate ; Aparent, erau familiarizați cu principiul asemănării. Pentru zona patrulaterelor neregulate, a fost folosită aceeași formulă aproximativă ca în Egipt :

.

Cu toate acestea, bogatul fundament teoretic al matematicii babiloniene nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de o bază de dovezi. O abordare demonstrativă sistematică a matematicii a apărut doar printre greci .

China

Numerele din China antică erau notate cu hieroglife speciale , care au apărut în mileniul II î.Hr. e., iar marca lor a fost în cele din urmă stabilită în secolul III î.Hr. e. Aceste hieroglife sunt încă folosite astăzi. Modul chinezesc de a scrie numere a fost inițial multiplicativ. De exemplu, intrarea numărului 1946, folosind numere romane în loc de hieroglife, poate fi reprezentată condiționat ca 1M9S4X6. Cu toate acestea, în practică, calculele au fost efectuate pe o tablă de numărare, unde notarea numerelor era diferită - pozițională, ca în India și, spre deosebire de babilonieni, zecimală [15] .

Calculele au fost făcute pe o tablă specială de numărare a suanpan (vezi fotografia), conform principiului de utilizare, similar conturilor rusești . Zero a fost indicat pentru prima dată printr-un spațiu gol, o hieroglifă specială a apărut în jurul secolului al XII-lea d.Hr. e. Pentru a memora tabla înmulțirii a existat un cântec special pe care elevii l-au memorat.

Cea mai semnificativă lucrare matematică a Chinei antice este Matematica în nouă cărți .

Chinezii știau multe, inclusiv: toată aritmetica de bază (inclusiv găsirea celui mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun ), operații cu fracții, proporții, numere negative, suprafețe și volume ale figurilor și corpurilor de bază, teorema lui Pitagora și algoritmul de selectare. Triple pitagoreice , rezolvarea ecuatiilor patratice . O metodă fan-cheng a fost chiar dezvoltată pentru rezolvarea sistemelor cu un număr arbitrar de ecuații liniare - un analog al metodei clasice europene Gauss . Ecuațiile de orice grad au fost rezolvate numeric - prin metoda tian-yuan , care amintește de metoda Ruffini-Horner pentru găsirea rădăcinilor unui polinom.

Grecia antică

Matematica în sensul modern al cuvântului s-a născut în Grecia. În țările contemporane Hellas, matematica era folosită fie pentru nevoile cotidiene (calcule, măsurători), fie, dimpotrivă, pentru ritualuri magice care vizează aflarea voinței zeilor ( astrologie , numerologie etc.). Nu exista o teorie matematică în sensul deplin al cuvântului, problema era limitată la un set de reguli empirice, adesea inexacte sau chiar eronate.

Grecii au abordat problema dintr-un unghi diferit.

În primul rând, școala pitagoreică a înaintat teza „ Numerele guvernează lumea ” [C 2] . Sau, așa cum a fost formulat același gând două milenii mai târziu: „ Natura ne vorbește în limbajul matematicii ” ( Galileo ). Aceasta însemna că adevărurile matematicii sunt, într-un anumit sens, adevărurile ființei reale.

În al doilea rând, pitagoreicii au dezvoltat o metodologie completă pentru descoperirea unor astfel de adevăruri. Ei au compilat mai întâi o listă de adevăruri matematice primare, evidente intuitiv ( axiome , postulate ). Apoi, cu ajutorul raționamentului logic (ale cărui reguli au fost și ele unificate treptat), din aceste adevăruri au fost derivate noi afirmații, care trebuie să fie și ele adevărate. Așa s- a născut matematica deductivă .

Grecii au testat validitatea acestei teze în multe domenii: astronomie , optică , muzică , geometrie și, mai târziu, mecanică . Peste tot s-au remarcat succese impresionante: modelul matematic poseda o putere predictivă incontestabilă.

Încercarea pitagoreenilor de a baza armonia lumii pe numere întregi (și rapoartele acestora) a fost pusă sub semnul întrebării după descoperirea numerelor iraționale . Școala platoniciană (secolul al IV-lea î.Hr.) a ales o altă bază geometrică pentru matematică ( Eudoxus din Cnidus ). Pe această cale au fost obținute cele mai mari succese ale matematicii antice ( Euclid , Arhimede , Apollonius din Perga și alții).

Matematica greacă impresionează în primul rând prin bogăția conținutului său. Mulți oameni de știință ai New Age au remarcat că au aflat motivele descoperirilor lor de la antici. Rudimentele analizei se remarcă la Arhimede, rădăcinile algebrei în Diophantus , geometria analitică la Apollonius etc. Dar acesta nu este principalul lucru. Două realizări ale matematicii grecești au supraviețuit cu mult creatorilor lor.

În primul rând, grecii au construit matematica ca o știință holistică cu propria lor metodologie, bazată pe legi bine definite ale logicii (garantând adevărul concluziilor, cu condiția ca premisele să fie adevărate).

În al doilea rând, ei au proclamat că legile naturii sunt de înțeles pentru mintea umană, iar modelele matematice sunt cheia cunoașterii lor.

În aceste două privințe, matematica greacă antică este destul de legată de cea modernă.

India

Numerotarea indiană (un mod de a scrie numere) a fost inițial sofisticată. Sanscrita avea mijloace pentru denumirea numerelor până la . Pentru numere a fost folosit pentru prima dată sistemul siro-fenician, iar din secolul al VI-lea î.Hr. e. - ortografie " brahmi ", cu caractere separate pentru numerele 1-9. S-au schimbat oarecum, aceste icoane au devenit numere moderne, pe care le numim arabă , iar arabii înșiși - indieni .

Aproximativ 500 d.Hr. e. marele matematician indian, necunoscut nouă, a inventat un nou sistem de notație numerică - sistemul pozițional zecimal . În ea, efectuarea operațiilor aritmetice s-a dovedit a fi nemăsurat mai ușoară decât în ​​cele vechi, cu coduri de litere stângace, precum grecii , sau sexagesimale , ca babilonienii . Mai târziu, indienii au folosit table de numărare adaptate pentru notarea pozițională. Ei au dezvoltat algoritmi completi pentru toate operațiile aritmetice, inclusiv extragerea rădăcinilor pătrate și cubice.

Lucrările lui Aryabhata , un matematician și astronom indian remarcabil, datează din secolele V-VI . În lucrarea sa „Aryabhatiam” există multe soluții la problemele de calcul. Un alt matematician și astronom indian faimos, Brahmagupta , a lucrat în secolul al VII-lea . Începând cu Brahmagupta, matematicienii indieni se ocupă în mod liber cu numerele negative, tratându-le ca datorii.

Matematicienii indieni medievali au obținut cel mai mare succes în domeniul teoriei numerelor și al metodelor numerice . Indienii sunt mult avansați în algebră; simbolistica lor este mai bogată decât cea a lui Diophantus , deși oarecum greoaie (aglomerată de cuvinte). Geometria a trezit mai puțin interes în rândul indienilor. Demonstrațiile teoremelor au constat dintr-un desen și cuvântul „priviți”. Cel mai probabil ei au moștenit formulele pentru zone și volume, precum și trigonometrie , de la greci.

Țările Islamului

Matematica din Orient, spre deosebire de greacă , a fost întotdeauna de natură mai practică. În consecință, aspectele de calcul și de măsurare au fost de cea mai mare importanță. Principalele domenii de aplicare ale matematicii au fost comerțul , construcțiile , geografia , astronomia și astrologia , mecanica , optica .

În secolul al IX-lea a trăit al-Khwarizmi ,  fiul unui preot zoroastrian , poreclit pentru aceasta al-Majusi (magicul). După ce a studiat cunoștințele indiene și grecești, a scris cartea „Despre contul indian”, care a contribuit la popularizarea sistemului pozițional în tot Califatul, până în Spania. În secolul al XII-lea, această carte este tradusă în latină, din partea autorului ei, din cuvântul nostru „ algoritm ” provine (pentru prima dată în sens apropiat folosit de Leibniz ). O altă lucrare a lui al-Khwarizmi, „ O carte scurtă despre calculul lui al-Jabr și al-Mukabala ”, a avut o mare influență asupra științei europene și a dat naștere unui alt termen modern „ algebră ”.

Matematicienii islamici au acordat multă atenție nu numai algebrei, ci și geometriei și trigonometriei (în principal pentru aplicații astronomice). Nasir al-Din al-Tusi ( secolul al XIII-lea ) și Al-Kashi ( secolul al XV-lea ) au publicat lucrări remarcabile în aceste domenii.

În ansamblu, se poate spune că matematicienii țărilor islamice au reușit într-o serie de cazuri să ridice dezvoltările semiempirice indiene la un nivel teoretic înalt și, prin urmare, să-și extindă puterea. Deși cazul în majoritatea cazurilor s-a limitat la această sinteză. Mulți matematicieni erau maeștri ai metodelor clasice, dar s-au obținut puține rezultate noi.

Rusia

În 1136, călugărul Novgorod Kirik a scris o lucrare matematică și astronomică cu un calcul detaliat al datei creării lumii. Titlul complet al operei sale este următorul: „Kirika diaconului și domestic al Mănăstirii Novgorod Antoniev, învățandu-i să spună unei persoane numărul tuturor anilor” [16] . Pe lângă calculele cronologice, Kirik a dat un exemplu de progresie geometrică care rezultă din împărțirea unei zile în fracții din ce în ce mai mici; Kirik s-a oprit la o milione, declarând că „mai mult din asta nu se întâmplă” [2] .

În 1701, prin decret imperial, a fost înființată o școală de matematică și navigație în Turnul Sukharev , unde a predat L. F. Magnitsky . În numele lui Petru I, el a scris (în slavonă bisericească) un binecunoscut manual de aritmetică ( 1703 ), iar mai târziu a publicat tabele de navigație și logaritmice. Manualul lui Magnitsky pentru acea vreme era excepțional de solid și informativ. Autorul a selectat cu grijă tot ce era mai bun în manualele existente la acea vreme și a prezentat materialul clar, cu numeroase exemple și explicații.

Reformele lui M. M. Speransky au servit ca un impuls puternic pentru dezvoltarea științei ruse . La începutul secolului al XIX-lea, a fost creat Ministerul Educației Publice , au apărut districte educaționale și au început să se deschidă gimnaziile în toate orașele mari ale Rusiei. În același timp, conținutul cursului de matematică a fost destul de amplu - algebră, trigonometrie, aplicații la fizică etc.

În secolul al XIX-lea, matematica tânără rusă a adus deja în față oameni de știință de talie mondială.

Primul dintre ei a fost Mihail Vasilevici Ostrogradsky . La fel ca majoritatea matematicienilor ruși dinaintea lui, el a dezvoltat în principal probleme aplicate de analiză . Lucrarea sa explorează propagarea căldurii, ecuația undelor , teoria elasticității , electromagnetismul . A studiat și teoria numerelor . Academician din cinci academii mondiale. Lucrări aplicative importante au fost efectuate de Viktor Yakovlevich Bunyakovsky , un matematician extrem de versatil, inventator, autoritate recunoscută în teoria numerelor și teoria probabilității , autor al lucrării fundamentale Fundamentele Teoriei Matematice a Probabilității.

Întrebările fundamentale ale matematicii în Rusia în prima jumătate a secolului al XIX-lea au fost preluate doar de Nikolai Ivanovici Lobachevsky , care s-a opus dogmei spațiului euclidian . El a construit geometria Lobachevsky și a explorat în profunzime proprietățile ei neobișnuite. Lobaciovski era atât de înaintea timpului său, încât a fost judecat după meritele sale la doar mulți ani după moartea sa.

Mai multe descoperiri generale importante au fost făcute de Sofia Kovalevskaya . A devenit prima femeie din lume și din istorie care a fost profesor de matematică. În 1874, la Universitatea din Göttingen, și-a susținut teza „Despre teoria ecuațiilor diferențiale” și a primit un doctorat. În 1881, ea a fost aleasă ca membru al Societății de Matematică din Moscova ca Privatdozent. În 1889, Sofia Kovalevskaya a primit un mare premiu de la Academia din Paris pentru cercetările sale privind rotația unui vârf asimetric greu [17] .

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, matematica rusă, cu o părtinire generală aplicată, a publicat și ea destul de multe rezultate fundamentale. Pafnuty Lvovich Chebyshev , un matematician universal, a făcut multe descoperiri în cele mai diverse, departe unele de altele, domenii ale matematicii - teoria numerelor, teoria probabilității, teoria aproximării funcțiilor. Andrei Andreevici Markov este cunoscut pentru munca sa de primă clasă în teoria probabilității, dar a obținut rezultate remarcabile și în alte domenii - teoria numerelor și analiza matematică. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, s-au format două școli interne active de matematică - Moscova și Sankt Petersburg.

Europa de Vest

Evul Mediu, secolele IV-XV

În secolul V, a venit sfârșitul Imperiului Roman de Apus , iar teritoriul Europei de Vest s-a transformat pentru o lungă perioadă de timp într-un câmp de lupte necontenite cu cuceritorii și tâlharii ( huni , goți , maghiari , arabi , normanzi etc.). Dezvoltarea științei s-a oprit. Nevoia de matematică se limitează la aritmetică și calculul calendarului sărbătorilor bisericești, iar aritmetica este studiată conform manualului antic al lui Nicomachus din Gheraz într-o traducere prescurtată a lui Boethius în latină.

Dintre puținii oameni de înaltă educație, se remarcă irlandezul Beda Venerabilul (a lucrat la calendar, pascale , cronologie, teoria numărării pe degete) și călugărul Herbert, din 999  - papa sub numele de Silvestru al II-lea , patronul științelor; i se atribuie autorul mai multor lucrări de astronomie și matematică. O colecție populară de probleme matematice distractive a fost publicată de poetul și omul de știință anglo-saxon Alcuin (secolul al VIII-lea).

Stabilizarea și restaurarea culturii europene a început în secolul al XI-lea . Apar primele universități ( Salerno , Bologna ). Predarea matematicii se extinde: tradiționalul quadrivium includea aritmetica, geometria, astronomia și muzica.

Prima cunoaștere a oamenilor de știință europeni cu descoperiri antice a avut loc în Spania. În secolul al XII-lea , principalele lucrări ale marilor greci și ale studenților lor islamici au fost traduse acolo (din greacă și arabă în latină) . Din secolul al XIV-lea , Bizanțul a devenit principalul loc de schimb științific . Elementele lui Euclid au fost traduse și publicate cu mare interes ; treptat au fost copleșite de comentarii ale geometrilor locali. Singurul matematician relativ important din întreaga istorie post-antica a Bizanțului a fost Maximus Planud , un comentator al lui Diophantus și un popularizator al sistemului zecimal .

La sfârșitul secolului al XII-lea, pe baza mai multor școli monahale, a luat ființă Universitatea din Paris , unde au studiat mii de studenți din toată Europa; aproape simultan, în Marea Britanie au apărut Oxford și Cambridge . Interesul pentru știință este în creștere, iar una dintre manifestările acestui lucru este schimbarea sistemului numeric. Multă vreme în Europa au fost folosite cifrele romane . În secolele XII-XIII au fost publicate primele expuneri ale sistemului de notație pozițională zecimală din Europa (primele traduceri ale lui al-Khwarizmi , apoi propriile manuale), și a început aplicarea acestuia. Din secolul al XIV-lea, cifrele indo-arabe încep să le înlocuiască pe cele romane chiar și pe pietre funerare. Numai în astronomie a fost folosită multă vreme aritmetica babiloniană sixagesimal .

Primul matematician important al Europei medievale a fost în secolul al XIII-lea Leonardo din Pisa, cunoscut sub numele de Fibonacci . Lucrarea sa principală: „ Cartea Abacului ” ( 1202 , a doua ediție revizuită - 1228 ). Abacus Leonardo a numit calcule aritmetice. Fibonacci cunoștea bine (din traducerile arabe) realizările anticilor și sistematizează o parte semnificativă a acestora în cartea sa. Prezentarea sa în completitudine și profunzime a devenit imediat mai mare decât toate prototipurile antice și islamice și pentru o lungă perioadă de timp a fost de neîntrecut. Această carte a avut un impact uriaș asupra răspândirii cunoștințelor matematice, a popularității cifrelor indiene și a sistemului zecimal în Europa.

În cărțile „Aritmetică” și „Despre numerele date” ale lui Jordan Nemorarius , se văd rudimentele algebrei simbolice, deocamdată nedespărțite de geometrie [18] .

În același timp, Robert Grosseteste și Roger Bacon au cerut crearea unei științe experimentale care să poată descrie fenomenele naturale în limbaj matematic [19] .

În secolul al XIV-lea, universitățile au apărut în aproape toate țările importante ( Praga , Cracovia , Viena , Heidelberg , Leipzig , Basel etc.).

Filosofii de la Oxford Merton College, care au trăit în secolul al XIV-lea și au făcut parte dintr-un grup de așa-numitele calculatoare Oxford , au dezvoltat o doctrină logico-matematică de întărire și slăbire a calităților. O altă versiune a aceleiași doctrine a fost dezvoltată la Sorbona de Nicholas Oresme . El a introdus imaginea dependenței folosind un grafic, a investigat convergența seriei . [20] În lucrările algebrice, el a luat în considerare exponenții fracționari .

Proeminentul matematician și astronom german din secolul al XV-lea, Johann Müller, a devenit cunoscut sub numele de Regiomontanus  , numele latinizat al orașului său natal Königsberg [C 3] . A publicat prima lucrare din Europa dedicată special trigonometriei . În comparație cu sursele arabe, există puține lucruri noi, dar trebuie remarcată mai ales prezentarea sistematică și completă.

Luca Pacioli , cel mai important algebriist al secolului al XV-lea, prieten cu Leonardo da Vinci , a oferit o schiță clară (deși nu foarte convenabilă) a simbolismului algebric.

secolul al XVI-lea

Secolul al XVI-lea a fost un punct de cotitură pentru matematica europeană. După ce a asimilat pe deplin realizările predecesorilor săi, a rupt mult înainte cu câțiva smucituri puternice [21] .

Prima realizare majoră a fost descoperirea unei metode generale de rezolvare a ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea . Matematicienii italieni del Ferro , Tartaglia și Ferrari au rezolvat o problemă pe care cei mai buni matematicieni din lume nu au putut-o rezolva timp de câteva secole [22] . În același timp, s-a constatat că în soluție apăreau uneori rădăcini „imposibile” din numere negative . După ce au analizat situația, matematicienii europeni au numit aceste rădăcini „ numere imaginare ” și au dezvoltat reguli pentru manipularea lor, conducând la rezultatul corect. Acesta este modul în care numerele complexe au intrat pentru prima dată în matematică .

În 1585, flamandul Simon Stevin publică cartea „ Al zecelea ” despre regulile de acțiune cu fracții zecimale , după care sistemul zecimal câștigă o victorie finală în domeniul numerelor fracționale. Separatorul zecimal nu fusese încă inventat, iar pentru claritate, Stevin a indicat deasupra fiecărei cifre (sau după ea) numărul său de cifre cuprins într-un cerc, pozitiv pentru partea întreagă, negativ pentru mantise. Utilizarea virgulei la scrierea fracțiilor a fost întâlnită pentru prima dată în 1592. De asemenea, Stevin a proclamat egalitatea completă a numerelor raționale și iraționale , precum și (cu unele rezerve) și a numerelor negative [23] .

Cel mai important pas către noua matematică a fost făcut de francezul François Viet . În Introducerea în arta analitică , publicată în 1591, el a formulat în cele din urmă metalimbajul simbolic al aritmeticii, algebrei literale [24] . Odată cu apariția sa, s-a deschis posibilitatea de a efectua cercetări de o profunzime și o generalitate fără precedent. În această carte, Vieta a arătat exemple ale puterii noii metode prin găsirea celebrelor formule Vieta . Simbolismul lui Vieta nu era încă asemănător cu cel adoptat astăzi, versiunea sa modernă fiind propusă ulterior de Descartes [25] .

În același timp, prestigiul matematicii este în creștere, iar multe probleme practice care trebuie rezolvate apar din abundență - în artilerie, navigație, construcții, industrie, hidraulică, astronomie, cartografie, optică etc. Și, spre deosebire de antichitate, Renaștere oamenii de știință nu s-au sfiit de astfel de sarcini. De fapt, nu existau matematicieni teoreticieni puri. Apar primele Academii de Științe. În secolele XVI-XVII, rolul științei universitare a scăzut și au apărut mulți oameni de știință neprofesioniști: Stevin era inginer militar, Viet și Fermat  erau avocați, Desargues și Ren  erau arhitecți, Leibniz  era funcționar, Napier, Descartes, Pascal .  au fost persoane fizice [26] .

Secolul al XVII-lea

În secolul al XVII-lea, dezvoltarea rapidă a matematicii a continuat, iar până la sfârșitul secolului fața științei s-a schimbat radical.

Prima mare descoperire a secolului al XVII-lea a fost inventarea logaritmilor . În 1614, matematicianul amator scoțian John Napier a publicat un eseu în latină intitulat „Descrierea uimitoarei tabele a logaritmilor” (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Conținea o scurtă descriere a logaritmilor și proprietăților acestora, precum și tabele de 8 cifre ale logaritmilor de sinusuri, cosinus și tangente, cu un pas de 1'. Termenul de logaritm , propus de Napier, s-a impus în știință. Napier a subliniat teoria logaritmilor în cealaltă carte a sa, „Construcția unui tabel uimitor de logaritmi” (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), publicată postum în 1619 de fiul său Robert. Calculele complexe au fost simplificate de multe ori, iar matematica a primit o nouă funcție non-clasică cu o gamă largă de aplicații.

Rene Descartes în tratatul „ Geometrie ” (1637) a corectat greșeala strategică a matematicienilor antici și a restabilit înțelegerea algebrică a numărului (în loc de geometrică) [27] . Mai mult, el a indicat o modalitate de a traduce enunțurile geometrice în limbaj algebric (folosind un sistem de coordonate ), după care studiul devine mult mai ușor și mai eficient. Astfel s-a născut geometria analitică . Descartes a luat în considerare multe exemple care ilustrează marea putere a noii metode și a obținut multe rezultate necunoscute anticilor. De remarcat este simbolismul matematic pe care l-a dezvoltat , care este aproape de modern.

Metoda analitică a lui Descartes a fost imediat adoptată de Wallis , Fermat și mulți alți matematicieni de seamă [28] .

Pierre Fermat, Huygens și Jacob Bernoulli au creat o nouă ramură a matematicii, care a fost destinată unui viitor mare - teoria probabilității . Jacob Bernoulli a formulat prima versiune a legii numerelor mari [29] .

Și, în sfârșit, a apărut o idee nu foarte clară, dar profundă - analiza curbelor netede arbitrare prin descompunerea lor în segmente infinit de mici de linii drepte. Prima implementare a acestei idei a fost metoda în mare parte imperfectă a indivizibililor ( Kepler [30] , Cavalieri [31] , Fermat [32] ), iar cu ajutorul ei au fost deja făcute multe noi descoperiri. La sfârșitul secolului al XVII-lea, ideea de indivizibili a fost extinsă semnificativ de Newton [33] și Leibniz [34] și a apărut un instrument de cercetare excepțional de puternic - analiza matematică . Această direcție matematică a devenit principala în următorul secol al XVIII-lea .

Teoria numerelor negative era încă la început. De exemplu, a fost discutată în mod activ o proporție ciudată  - în ea primul termen din stânga este mai mare decât al doilea, iar din dreapta - invers și se dovedește că cel mai mare este egal cu cel mai mic (" paradoxul lui Arnaud ") [35] .

Numerele complexe au fost considerate fictive, regulile pentru tratarea lor nu au fost în cele din urmă elaborate. Mai mult, nu era clar dacă toate „ numerele imaginare ” puteau fi scrise sub forma a + bi sau, să zicem, la extragerea unei anumite rădăcini, puteau apărea imaginari care nu puteau fi reduse la această formă (chiar Leibniz credea așa). Abia în secolul al XVIII-lea , d'Alembert și Euler au stabilit că numerele complexe sunt închise sub toate operațiunile, inclusiv luarea unei rădăcini de orice grad.

În a doua jumătate a secolului al XVII-lea au apărut periodice științifice, care nu erau încă specializate în tipurile de științe. Londra și Paris au pus bazele, dar revista Acta Eruditorum ( 1682 , Leipzig , în latină) a jucat un rol deosebit de important. Academia Franceză de Științe își publică Memoriile din 1699. Aceste reviste au fost publicate rar, iar corespondența a continuat să fie un mijloc indispensabil de diseminare a informațiilor.

secolul al XVIII-lea

Secolul al XVIII-lea în matematică poate fi descris pe scurt drept secolul analizei , care a devenit obiectul principal al eforturilor matematicienilor. Contribuind la dezvoltarea rapidă a științelor naturii, analiza, la rândul ei, a progresat singură, primind de la ele sarcini din ce în ce mai complexe. La intersecția acestui schimb de idei s-a născut fizica matematică .

Critica metodei infinitezimale pentru slaba ei validitate a tăcut rapid sub presiunea succeselor triumfale ale noii abordări. În știință, datorită lui Newton , mecanica a domnit  - toate celelalte interacțiuni erau considerate secundare, consecințe ale proceselor mecanice. Dezvoltarea analizei și a mecanicii a avut loc în strânsă împletire; Euler a fost primul care a realizat această unificare , care a îndepărtat construcțiile arhaice din mecanica newtoniană și a adus o bază analitică dinamicii ( 1736 ). De atunci, mecanica a devenit o ramură aplicată a analizei. Procesul a fost finalizat de Lagrange , a cărui „Mecanica analitică” [36] nu conține în mod demonstrativ nici un singur desen. În același timp, analiza a devenit algebrică și în cele din urmă (începând cu Euler) s-a separat de geometrie și mecanică.

Principala metodă de cunoaștere a naturii este compilarea și rezolvarea ecuațiilor diferențiale . După dinamica unui punct, a venit rândul dinamicii unui corp rigid, apoi lichid și gaz. Progresul în acest domeniu a fost mult facilitat de controversa cu privire la șir , la care au participat principalii matematicieni ai Europei.

Teoria gravitației lui Newton a întâmpinat inițial dificultăți în descrierea mișcării Lunii , dar lucrările lui Clairaut , Euler și Laplace [37] au arătat clar că nu există alte forțe suplimentare decât cele ale lui Newton în mecanica cerească .

Analiza se extinde la o zonă complexă. Continuarea analitică a majorității funcțiilor nu a cauzat probleme și s-au găsit conexiuni neașteptate între funcțiile standard ( formula lui Euler ) [38] . Au fost întâmpinate dificultăți pentru logaritmul complex , dar Euler le-a depășit cu succes. Au fost introduse mapări conforme și a fost prezentată conjectura despre unicitatea continuării analitice. Funcțiile complexe și-au găsit aplicație chiar și în științele aplicate - hidrodinamică, teoria oscilațiilor (D'Alembert, Euler).

Teoria și tehnica integrării au avansat mult . Integrale multiple (Euler, Lagrange) sunt utilizate pe scară largă și nu numai în coordonate carteziene. Apar și integralele de suprafață (Lagrange, Gauss ). Teoria ecuațiilor diferențiale, atât ordinare, cât și parțiale, este în curs de dezvoltare. Matematicienii dau dovadă de o ingeniozitate excepțională în rezolvarea ecuațiilor cu diferențe parțiale, inventând propriile metode de rezolvare a fiecărei probleme. S-a format conceptul de problemă a valorii la limită și au apărut primele metode de rezolvare a acesteia.

La sfârșitul secolului al XVIII-lea s-a pus începutul unei teorii generale a potențialului (Lagrange, Laplace, Legendre). Pentru gravitație, potențialul a fost introdus de Lagrange ( 1773 , termenul a fost propus de Green în 1828 ). Curând Laplace a descoperit legătura dintre potențial și ecuația Laplace și a introdus o clasă importantă de funcții sferice ortogonale .

Apar un calcul variațional promițător și principii variaționale ale fizicii (Euler, Lagrange).

Conducătorul matematicienilor în secolul al XVIII-lea a fost Euler, al cărui talent excepțional și-a pus amprenta asupra tuturor realizărilor matematice majore ale secolului [39] . El a fost cel care a făcut din analiză un instrument perfect de cercetare. Euler a îmbogățit în mod semnificativ gama de funcții , a dezvoltat tehnica de integrare și a avansat aproape toate domeniile matematicii. Împreună cu Maupertuis , el a formulat principiul acțiunii minime ca fiind legea cea mai înaltă și universală a naturii.

În teoria numerelor , numerele imaginare sunt în sfârșit legalizate, deși teoria lor completă nu a fost încă creată. Teorema fundamentală a algebrei este demonstrată (încă nu complet riguros) . Euler a dezvoltat teoria divizibilității numerelor întregi și teoria comparațiilor (reziduurilor), completată de Gauss. Euler a introdus conceptul de rădăcină primitivă , și-a dovedit existența pentru orice număr prim și a găsit numărul de rădăcini primitive, a descoperit legea pătratică a reciprocității . El și Lagrange au publicat teoria generală a fracțiilor continue și, cu ajutorul lor, au rezolvat multe probleme din analiza diofantină. Euler a mai descoperit că metodele analitice ar putea fi aplicate la o serie de probleme din teoria numerelor .

Algebra liniară se dezvoltă rapid . Prima descriere detaliată a soluției generale a sistemelor liniare a fost dată în 1750 de Gabriel Cramer . Simbolism apropiat de modern și o analiză profundă a determinanților a fost dată de Alexander Theophilus Vandermonde (1735-1796). Laplace în 1772 a dat o extindere a determinantului la minori . Teoria determinanților și-a găsit rapid multe aplicații în astronomie și mecanică (ecuația seculară), în rezolvarea sistemelor algebrice, în studiul formelor etc.

Noi idei se produc în algebră, culminând deja în secolul al XIX-lea cu teoria Galois și structurile abstracte. Lagrange, în studiul ecuațiilor de gradul al cincilea și mai sus, se apropie de teoria Galois ( 1770 ), după ce a descoperit că „adevărata metafizică a ecuațiilor este teoria substituțiilor ”.

În geometrie apar noi secțiuni: geometrie diferențială a curbelor și suprafețelor, geometria descriptivă ( Monge ), geometria proiectivă ( Lazar Carnot ).

Teoria probabilității încetează să mai fie exotică și își dovedește utilitatea în cele mai neașteptate domenii ale activității umane. De Moivre și Daniel Bernoulli descoperă distribuția normală . Apar teoria probabilistică a erorii și statistica științifică. Etapa clasică în dezvoltarea teoriei probabilităților a fost completată de lucrările lui Laplace [40] . Cu toate acestea, aplicațiile sale la fizică erau aproape absente atunci (fără a lua în calcul teoria erorilor).

Academiile de Științe, în cea mai mare parte deținute de stat, au devenit centre de cercetare matematică. Importanța universităților este mică (cu excepția țărilor în care încă nu există academii), departamentele de fizică și matematică încă lipsesc. Rolul principal este jucat de Academia din Paris . Școala engleză se desparte după Newton și coboară nivelul științific pentru un secol întreg; numărul matematicienilor proeminenți din Anglia secolului al XVIII-lea este mic - de Moivre (emigrat hughenot francez), Coates , Taylor , Maclaurin , Stirling .

Matematicienii devin profesioniști, amatorii aproape că dispar din scenă.

La sfârșitul secolului al XVIII-lea au apărut reviste de matematică specializate, iar interesul pentru istoria științei a crescut. Este publicată Istoria matematicii a lui Montucla în două volume ( retipărită postum și extins la 4 volume). Publicarea literaturii științifice populare se extinde.

secolul al XIX-lea

Eficacitatea incontestabilă a utilizării matematicii în științele naturii i-a determinat pe oamenii de știință să creadă că matematica, ca să spunem așa, este construită în univers, este baza sa ideală. Cu alte cuvinte, cunoștințele în matematică fac parte din cunoștințele lumii reale. Mulți oameni de știință din secolele XVII-XVIII nu s-au îndoit de acest lucru. Dar în secolul al XIX-lea, dezvoltarea evolutivă a matematicii a fost perturbată și această teză aparent de nezdruncinat a fost pusă sub semnul întrebării.

În general, în secolul al XIX-lea, rolul și prestigiul matematicii în știință și economie a crescut considerabil, iar sprijinul său de stat a crescut în consecință. Matematica devine din nou predominant o știință universitară. Apar primele societăți matematice: Londra , americană , franceză , Moscova , precum și societăți din Palermo și Edinburgh .

Să luăm în considerare pe scurt dezvoltarea principalelor domenii ale matematicii în secolul al XIX-lea.

Geometrie

Dacă secolul al XVIII-lea a fost secolul analizei, atunci secolul al XIX-lea a fost prin excelență secolul geometriei . Geometria descriptivă creată la sfârșitul secolului al XVIII-lea ( Monge [42] , Lambert ) și geometria proiectivă reînviată ( Monge , Poncelet , Lazare Carnot ) s-au dezvoltat rapid . Apar noi secțiuni: calcul vectorial și analiză vectorială , geometrie Lobachevsky , geometrie riemanniană multidimensională , teoria grupurilor de transformare . Are loc o algebrizare intensivă a geometriei - metodele teoriei grupurilor pătrund în ea și apare geometria algebrică . La sfârșitul secolului, a fost creată „geometria calitativă” - topologia .

Geometria diferențială a primit un impuls puternic după publicarea lucrării extrem de informative a lui Gauss „General Investigations on Curved Surfaces” ( 1822 ) [43] , unde metrica ( prima formă pătratică ) și geometria intrinsecă asociată a suprafeței au fost pentru prima dată explicit . definit . Cercetările au fost continuate de școala pariziană. În 1847, Frenet și Serret au publicat celebrele formule ale lui Frenet pentru atributele diferențiale ale unei curbe [44] .

Cea mai mare realizare a fost introducerea conceptului de vector și câmp vectorial . Inițial, vectorii au fost introduși de W. Hamilton în legătură cu cuaternionii lor (ca parte a lor imaginară tridimensională). Hamilton avea deja produsul punct și încrucișat . Mai mult, Hamilton a introdus operatorul diferențial (" nabla ") și multe alte concepte de analiză vectorială, inclusiv definiția unei funcții vectoriale și produsul tensor .

Compactitatea și invarianța simbolismului vectorial utilizat în primele scrieri ale lui Maxwell i-a interesat pe fizicieni; Elementele de analiză vectorială a lui Gibbs (1880) au apărut curând, iar apoi Heaviside ( 1903 ) a dat calculului vectorial un aspect modern.

Geometria proiectivă, după un secol și jumătate de uitare, a atras din nou atenția – mai întâi a lui Monge, apoi a elevilor săi – Poncelet și Lazar Carnot. Carnot a formulat „principiul continuității”, care vă permite să extindeți imediat unele dintre proprietățile figurii originale la figurile obținute din aceasta printr-o transformare continuă (1801-1806). Ceva mai târziu, Poncelet a definit clar geometria proiectivă ca știință a proprietăților proiective ale figurilor și a prezentat o expunere sistematică a conținutului acesteia ( 1815 ). În Poncelet, punctele infinit îndepărtate (chiar și cele imaginare) sunt deja complet legalizate. El a formulat principiul dualității (linii drepte și puncte pe plan).

De la sfârșitul anilor 1820, în Germania s-a format o școală de geometri proiectivi ( Möbius , Plücker , Hesse , Steiner și alții). În Anglia, o serie de lucrări au fost publicate de Cayley . În același timp, au început să fie utilizate metode analitice, mai ales după descoperirea de către Möbius a coordonatelor proiective omogene , inclusiv a punctului de la infinit. În Franța, lucrarea lui Poncelet a fost continuată de Michel Chall .

Celebrul discurs al lui Riemann ( 1854 ) „Despre ipotezele care stau la baza geometriei” [45] a avut o mare influență asupra dezvoltării matematicii . Riemann a definit conceptul general de varietate n-dimensională și metrica acesteia ca o formă pătratică definită pozitivă arbitrară . Riemann a generalizat în continuare teoria suprafețelor gaussiene la cazul multidimensional; în acest caz, apar celebrul tensor de curbură riemannian și alte concepte de geometrie riemanniană. Existența unei metrici non-euclidiene, potrivit lui Riemann, poate fi explicată fie prin discretitatea spațiului, fie prin unele forțe fizice de legătură. La sfârșitul secolului, G. Ricci completează analiza tensorială clasică .

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, geometria lui Lobaciovski a atras în cele din urmă atenția generală. Faptul că chiar și geometria clasică are o alternativă a făcut o impresie uriașă asupra întregii lumi științifice. De asemenea, a stimulat o reevaluare a multor stereotipuri stabilite în matematică și fizică.

Un alt punct de cotitură în dezvoltarea geometriei a venit în 1872 , când Felix Klein și-a prezentat „ Programul Erlangen ”. El a clasificat științele geometrice după grupa de transformări utilizate - rotații, afine, proiective, generale continue etc. Fiecare ramură a geometriei studiază invarianții grupului corespunzător de transformări. Klein a considerat și cel mai important concept de izomorfism (identitate structurală), pe care l-a numit „transfer”. Astfel, a fost conturată o nouă etapă în algebrizarea geometriei, a doua după Descartes .

În 1872-1875, Camille Jordan a publicat o serie de lucrări despre geometria analitică a spațiului n-dimensional (curbe și suprafețe), iar la sfârșitul secolului a propus o teorie generală a măsurii .

La sfârşitul secolului s-a născut topologia , mai întâi sub denumirea de analiză situs . Metodele topologice au fost de fapt folosite într-un număr de lucrări de Euler, Gauss, Riemann, Jordan și alții.Felix Klein descrie subiectul noii științe destul de clar în programul său Erlangen. Topologia combinatorie a luat contur în cele din urmă în lucrările lui Poincaré (1895-1902).

Analiză matematică

Analiza în secolul al XIX-lea s-a dezvoltat printr-o evoluție rapidă, dar pașnică.

Cea mai semnificativă schimbare a fost crearea fundamentului analizei ( Cauchy , apoi Weierstrass ). Datorită lui Cauchy [46] , conceptul mistic al infinitezimalului propriu-zis a dispărut din matematică (deși este încă folosit în fizică). Acțiunile discutabile cu serii divergente au fost plasate și în afara științei. Cauchy a construit fundamentul analizei pe baza unei teorii a limitelor apropiate de înțelegerea newtoniană, iar abordarea sa a devenit general acceptată; analiza a devenit mai puțin algebrică, dar mai fiabilă. Cu toate acestea, înainte de clarificările lui Weierstrass, încă persistau multe prejudecăți: de exemplu, Cauchy credea că o funcție continuă este întotdeauna diferențiabilă, iar suma unei serii de funcții continue este continuă.

Teoria funcțiilor analitice ale unei variabile complexe a primit cea mai largă dezvoltare, la care au lucrat Laplace , Cauchy, Abel , Liouville , Jacobi , Weierstrass și alții. Clasa de funcții speciale, în special cele complexe, a fost considerabil extinsă. Principalele eforturi au fost îndreptate către teoria funcțiilor abeliene, care nu a justificat pe deplin speranțele puse asupra lor, dar a contribuit totuși la îmbogățirea instrumentelor analitice și la crearea unor teorii mai generale în secolul XX.

Numeroase probleme aplicate au stimulat în mod activ teoria ecuațiilor diferențiale , care a devenit o disciplină matematică vastă și fructuoasă. Ecuațiile de bază ale fizicii matematice sunt investigate în detaliu , se demonstrează teoremele de existență pentru soluții și se creează o teorie calitativă a ecuațiilor diferențiale ( Poincaré ).

Până la sfârșitul secolului, are loc o oarecare geometrizare a analizei - analiza vectorială , apare analiza tensorială , sunt studiate spațiile funcționale infinit-dimensionale (vezi spațiul Banach , spațiul Hilbert ). Notația compactă invariantă a ecuațiilor diferențiale este mult mai convenabilă și mai clară decât notația greoaie de coordonate.

Algebră și teoria numerelor

Metodele analitice ale lui Euler au ajutat la rezolvarea multor probleme dificile din teoria numerelor ( Gauss [47] , Dirichlet și alții). Gauss a dat prima dovadă impecabilă a teoremei fundamentale a algebrei . Joseph Liouville a dovedit existența unui număr infinit de numere transcendentale ( 1844 , mai multe detalii în 1851 ), a dat un semn suficient de transcendență și a construit exemple de numere precum suma unei serii. În 1873, Charles Hermite a publicat o dovadă a transcendenței numărului Euler e , iar în 1882 Lindemann a aplicat o metodă similară numărului .

W. Hamilton a descoperit uimitoarea lume necomutativă a cuaternionilor .

A apărut o teorie geometrică a numerelor ( Minkowski ) [48] .

Evariste Galois , înaintea timpului său, prezintă o analiză profundă a soluției ecuațiilor de grade arbitrare [49] . Conceptele cheie ale studiului sunt proprietățile algebrice ale grupului de permutare și câmpurile de extensie asociate cu ecuația . Galois a finalizat lucrarea lui Abel , care a demonstrat că ecuațiile de grad mai mare decât al patrulea sunt de nerezolvat în radicali .

Pe măsură ce ideile lui Galois au fost asimilate, din a doua jumătate a secolului, algebra generală s-a dezvoltat rapid . Joseph Liouville publică și comentează opera lui Galois. În anii 1850, Cayley a introdus conceptul de grup abstract . Termenul „grup” devine general acceptat și pătrunde în aproape toate domeniile matematicii, iar în secolul al XX-lea - în fizică și cristalografie.

Se formează conceptul de spațiu liniar ( Grassmann și Cayley , 1843-1844 ) . În 1858, Cayley a publicat o teorie generală a matricelor , a definit operațiile asupra acestora și a introdus noțiunea de polinom caracteristic . Până în 1870, toate teoremele de bază ale algebrei liniare au fost dovedite , inclusiv reducerea la forma normală Jordan .

În 1871 , Dedekind introduce conceptele de inel , modul și ideal . El și Kronecker creează o teorie generală a divizibilității .

La sfârșitul secolului al XIX-lea, grupurile Lie intră în matematică .

Teoria probabilității

Teoria erorilor, statisticile și aplicațiile fizice sunt pe primul loc. Acest lucru a fost făcut de Gauss , Poisson , Cauchy . Importanța distribuției normale ca distribuție limită a fost relevată în multe situații reale.

În toate țările dezvoltate există departamente/societăți de statistică. Datorită muncii lui Karl Pearson , statistica matematică apare cu testarea ipotezelor și estimarea parametrilor.

Cu toate acestea, bazele matematice ale teoriei probabilităților nu fuseseră încă create în secolul al XIX-lea, iar Hilbert la începutul secolului al XX-lea atribuia această disciplină fizicii aplicate [50] .

Logica matematică

După eșecul proiectului „Caracterizare universală” a lui Leibniz, a trecut un secol și jumătate înainte ca încercarea de a crea o algebră a logicii să se repete. Dar s-a repetat pe o bază nouă: conceptul de mulțime de adevăr a făcut posibilă construirea logicii matematice ca o teorie a claselor, cu operații teoretice de mulțimi. Pionierii au fost matematicienii britanici Augustus (Augustus) de Morgan și George Boole .

În lucrarea „Logica formală” ( 1847 ) de Morgan a descris conceptul de univers și simbolurile pentru operatori logici, a notat binecunoscutele „ legile lui de Morgan ”. Mai târziu, a introdus conceptul general de relație matematică și operații asupra relațiilor.

George Boole și-a dezvoltat în mod independent propria versiune, mai de succes, a teoriei. În lucrările sale din 1847-1854 , el a pus bazele logicii matematice moderne și a descris algebra logicii ( algebra booleană ). Au apărut primele ecuații logice, a fost introdus conceptul de constituenți (descompunerea unei formule logice).

William Stanley Jevons a continuat sistemul lui Boole și chiar a construit o „mașină logică” capabilă să rezolve probleme logice [51] . În 1877, Ernest Schroeder a formulat principiul logic al dualității. Apoi , Gottlob Frege a construit un calcul propozițional . Charles Peirce la sfârșitul secolului al XIX-lea a conturat o teorie generală a relațiilor și a funcțiilor propoziționale și a introdus, de asemenea, cuantificatori . Versiunea modernă a simbolismului a fost propusă de Peano . După aceea, totul a fost pregătit pentru dezvoltarea teoriei demonstrației în școala lui Hilbert .

Justificarea matematicii

Până la începutul secolului al XIX-lea, numai geometria euclidiană avea o justificare logică (deductivă) relativ strictă, deși chiar și atunci rigoarea ei era considerată pe bună dreptate insuficientă. Proprietățile obiectelor noi (de exemplu, numere complexe , infinitezimale etc.) au fost considerate pur și simplu a fi, în mare, aceleași cu cele ale obiectelor deja cunoscute; dacă o astfel de extrapolare era imposibilă, proprietățile au fost selectate empiric.

Construirea bazei matematicii a început cu analiză. În 1821, Cauchy a publicat Analiza algebrică, unde a definit clar conceptele de bază bazate pe conceptul de limită. Cu toate acestea, a făcut o serie de greșeli, de exemplu, a integrat și diferențiat serie termen cu termen, fără a dovedi admisibilitatea unor astfel de operațiuni. Fundamentul analizei a fost completat de Weierstrass , care a clarificat rolul importantului concept de continuitate uniformă . Simultan, Weierstrass (1860) și Dedekind (1870) au oferit o justificare pentru teoria numerelor reale .

1837 : William Hamilton construiește un model de numere complexe ca perechi de reali.

În anii 1870, geometriile non-euclidiene au fost legalizate . Modelele lor bazate pe spațiul euclidian s-au dovedit a fi la fel de consistente ca geometria lui Euclid.

1879 : Frege publică sistemul de axiome ale logicii matematice .

1888 : Dedekind propune o schiță a unui sistem de axiome pentru numerele naturale. Un an mai târziu, Peano a propus un sistem complet de axiome .

1899 : Este publicată Hilbert 's Foundations of Geometry .

Drept urmare, până la sfârșitul secolului, aproape toată matematica a fost construită pe baza unei axiomatici stricte. Consecvența principalelor ramuri ale matematicii (cu excepția aritmeticii) a fost riguros dovedită (mai precis, redusă la consistența aritmeticii). Fundamentul axiomatic pentru teoria probabilității și teoria mulțimilor a apărut mai târziu, în secolul al XX-lea.

Teoria multimilor si antinomii

În 1873, Georg Cantor a introdus conceptul de mulțime de numere arbitrare, iar apoi conceptul general de mulțime  , cel mai abstract concept din matematică. Cu ajutorul mapărilor unu-la-unu , el a introdus conceptul de echivalență a mulțimilor, apoi a definit comparația cardinalităților pentru mai mult sau mai puțin și, în final, a clasificat mulțimile în funcție de cardinalitatea lor: finite, numărabile , continue etc.

Kantor a considerat ierarhia puterilor ca o continuare a ierarhiei (ordinei) numerelor întregi ( numerele transfinite ). Astfel, infinitul real a fost introdus în matematică, un  concept pe care matematicienii anteriori l-au evitat cu grijă.

La început, teoria mulțimilor a primit o primire binevoitoare din partea multor matematicieni. A ajutat la generalizarea teoriei măsurilor iordaniene , a fost folosit cu succes în teoria integralei Lebesgue și a fost văzut de mulți drept baza viitoarei axiomatici a tuturor matematicii. Cu toate acestea, evenimentele ulterioare au arătat că logica obișnuită nu este potrivită pentru studiul infinitului, iar intuiția nu ajută întotdeauna la alegerea corectă.

Prima contradicție a ieșit la iveală atunci când se consideră cea mai mare mulțime, mulțimea tuturor mulțimilor ( 1895 ). Trebuia exclus din matematică ca fiind inacceptabil. Au apărut însă și alte contradicții (antinomii).

Henri Poincare , care la început a acceptat teoria seturilor și chiar a folosit-o în cercetările sale, ulterior a respins-o cu fermitate și a numit-o „o boală gravă a matematicii”. Totuși, un alt grup de matematicieni, printre care Bertrand Russell , Hilbert și Hadamard , a apărut în apărarea „cantorismului” [52] .

Situația a fost agravată de descoperirea „ axiomei alegerii ” ( 1904 , Zermelo ), care, se pare, a fost aplicată inconștient în multe dovezi matematice (de exemplu, în teoria numerelor reale). Această axiomă declară că există o mulțime, a cărei compoziție este necunoscută, iar un număr de matematicieni au considerat această împrejurare complet inacceptabilă, mai ales că unele consecințe ale axiomei alegerii au contrazis intuiția ( paradoxul Banach-Tarski etc.).

La începutul secolului XX, a fost posibil să se convină asupra unei variante de teorie a mulțimilor liberă de contradicții descoperite anterior ( teoria claselor ), astfel încât majoritatea matematicienilor au acceptat teoria mulțimilor. Cu toate acestea, fosta unitate a matematicii nu mai există, unele școli științifice au început să dezvolte opinii alternative cu privire la justificarea matematicii [53] .

secolul al XX-lea

Prestigiul profesiei de matematică a devenit semnificativ mai mare în secolul al XX-lea. Matematica s-a dezvoltat exponențial și este imposibil de enumerat descoperirile făcute într-un mod complet, dar unele dintre cele mai semnificative realizări sunt menționate mai jos.

Direcții noi

În secolul al XX-lea, fața matematicii s-a schimbat semnificativ [54] .

  1. Atât subiectul matematicii, cât și domeniul de aplicare al acesteia s-au extins semnificativ. Au apărut noi secțiuni, au fost descoperite conexiuni neașteptate între secțiuni (de exemplu, între teoria numerelor și teoria probabilității [55] ).
  2. Au apărut noi concepte generalizatoare, matematica s-a ridicat la un nivel superior de abstractizare, iar de la această înălțime unitatea științei matematice devine mai clară. Un rol special în acest sens l-a jucat traducerea fundamentelor aproape tuturor secțiunilor matematicii în fundația teoretică a mulțimilor. Geometria are în vedere deja cele mai abstracte spații, algebra a făcut abstractie din aritmetica numerică și permite operații cu cele mai neobișnuite proprietăți.
  3. S-a făcut o analiză profundă a fundamentelor matematicii și a posibilităților logicii matematice în raport cu dovezile afirmațiilor matematice.

În 1900, David Hilbert a prezentat o listă cu 23 de probleme matematice nerezolvate la cel de -al doilea Congres Internațional al Matematicienilor . Aceste probleme au acoperit multe domenii ale matematicii și au constituit punctul central al eforturilor matematicienilor secolului al XX-lea. Astăzi, zece probleme de pe listă au fost rezolvate, șapte au fost parțial rezolvate și două probleme sunt încă deschise. Celelalte patru sunt prea generalizate pentru ca să aibă sens să vorbim despre soluția lor.

Noile domenii ale matematicii au primit o dezvoltare deosebită în secolul al XX-lea; pe lângă nevoile computerului , acest lucru se datorează în mare măsură cerințelor teoriei controlului , fizicii cuantice și altor discipline aplicate.

Multe domenii „vechi” ale matematicii s-au dezvoltat rapid și ele.

Logica matematică și fundamentele matematicii

În 1931, Kurt Gödel a publicat două dintre teoremele sale de incompletitudine , care stabileau limitările logicii matematice . Acest lucru a pus capăt planului lui David Hilbert de a crea un sistem complet și consistent de fundamente ale matematicii. Ceva mai devreme, în studiile lui Löwenheim și Skolem în 1915-1920 ( teorema Löwenheim-Skolem ), a fost descoperit un alt fapt descurajator: niciun sistem axiomatic nu poate fi categoric . Cu alte cuvinte, indiferent cât de atent este formulat un sistem de axiome, va exista întotdeauna o interpretare complet diferită de cea pentru care a fost conceput acest sistem. Această împrejurare subminează și credința în universalitatea abordării axiomatice.

Cu toate acestea, axiomatica formală este recunoscută ca fiind necesară pentru a clarifica principiile fundamentale pe care se bazează ramurile matematicii. În plus, axiomatizarea ajută la identificarea conexiunilor neevidente între diferitele părți ale matematicii și contribuie astfel la unificarea acestora [56] .

Rezultatele capitale sunt obținute în teoria algoritmilor . S-a dovedit că o teoremă poate fi corectă, dar insolubilă din punct de vedere algoritmic (mai precis, nu există o procedură de rezolvare, Church , 1936 ).

În 1933 , Andrey Kolmogorov a finalizat axiomatica (acum general acceptată) a teoriei probabilităților .

În 1963, Paul Cohen a demonstrat că ipoteza continuumului lui Cantor este nedemonstrabilă (în axiomatica obișnuită a teoriei mulțimilor ).

Algebră și teoria numerelor

La începutul secolului, Emmy Noether și Van der Waerden au finalizat construcția fundamentelor algebrei generale , ale cărei structuri ( grupuri , câmpuri , inele , spații liniare etc.) pătrund acum întreaga matematică. Teoria grupurilor și-a făcut în curând drum în fizică și cristalografie cu mare succes . O altă descoperire importantă la începutul secolului a fost crearea și dezvoltarea fructuoasei teorii a numerelor p-adice .

În anii 1910, Ramanujan a formulat peste 3.000 de teoreme, inclusiv proprietățile funcției de partiționare a numărului și estimările sale asimptotice . De asemenea, a obţinut rezultate importante în studiul funcţiei gamma , formelor modulare , serii divergente , serii hipergeometrice şi teoria numerelor prime .

Andrew Wiles a demonstrat Ultima Teoremă a lui Fermat în 1995 , încheind o problemă veche de secole.

Analiză matematică și fizică matematică

La începutul secolului XX, Lebesgue și Borel au generalizat teoria măsurii Jordan; pe baza ei s-a construit integrala Lebesgue . Analiza funcțională a apărut în școala lui Hilbert și a găsit curând aplicație directă în fizica cuantică .

În anii 1960, Abraham Robinson a publicat o expunere de analiză non-standard  , o abordare alternativă a justificării calculului pe baza infinitezimalelor reale .

Teoria varietăților multidimensionale este intens dezvoltată , stimulată de nevoile fizicii ( GR , teoria corzilor etc.).

Geometrie și topologie

Topologia generală se dezvoltă rapid și își găsește aplicații în diferite domenii ale matematicii. Fractalii descoperiți de Benoit Mandelbrot ( 1975 ) au trezit interesul în masă .

Hermann Minkowski a dezvoltat în 1907 un model geometric al cinematicii relativității speciale , care mai târziu a servit drept bază pentru Teoria Generală a Relativității (GR). Ambele teorii au servit drept stimul pentru dezvoltarea rapidă a geometriei diferențiale multidimensionale a varietăților netede arbitrare  - în special, riemanniene și pseudo-riemanniene .

Matematică discretă și computerizată

În a doua jumătate a secolului XX, datorită apariției computerelor, a avut loc o reorientare semnificativă a eforturilor matematice. Rolul unor astfel de secțiuni precum metodele numerice , teoria optimizării , comunicarea cu baze de date foarte mari, imitarea inteligenței artificiale , codificarea datelor audio și video etc.. Au apărut noi științe - cibernetica , informatica , recunoașterea modelelor , programarea teoretică, teoria traducerii automate, modelare pe computer, codificare compactă a informațiilor audio și video etc.

O serie de probleme vechi au fost rezolvate folosind dovezi computerizate [57] . Wolfgang Haken și Kenneth Apel au rezolvat problema celor patru culori folosind un computer ( 1976 ).

Secolul 21

În 2000, Institutul de Matematică Clay a întocmit o listă cu cele mai importante șapte probleme matematice „probleme clasice importante care nu au fost rezolvate de mulți ani”. În 2003, una dintre sarcinile mileniului - ipoteza Poincaré a fost rezolvată de Grigory Perelman .

În secolul 21, majoritatea revistelor de matematică au versiuni online, iar unele reviste sunt publicate doar pe Internet. Există un impuls tot mai mare pentru publicarea cu acces deschis, popularizată pentru prima dată de arXiv . Popularitatea calculului distribuit este în creștere , ceea ce le oferă cercetătorilor posibilitatea de a folosi puterea uriașă de calcul a computerelor personale din întreaga lume pentru a testa numeric diverse ipoteze matematice, de exemplu, proiectul PrimeGrid caută numere prime de un tip special. În plus, capacitățile instrumentelor informatice sunt în creștere, pentru dovezile om-mașină și pentru verificarea automată a dovezilor, de exemplu, în 2014, proba ipotezei Kepler a fost verificată cu ajutorul unui sistem informatic.

Vezi și

Note

Comentarii
  1. ↑ „După majoritatea opiniilor, geometria a fost descoperită pentru prima dată în Egipt și a apărut din măsurarea suprafețelor” // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. - Leipzig, 1873. - S. 64.
  2. ↑ „... așa-zișii pitagoreici, după ce s-au apucat de matematică, au fost primii care au dezvoltat-o ​​și, stăpânind-o, au început să o considere începuturile a tot ceea ce există... li s-a părut că totul altceva este clar. asemănată cu numerele din natură și că numerele sunt primele din toată natura, apoi au presupus că elementele numerelor sunt elementele a tot ceea ce există și că întregul cer este armonie și număr” // Aristotel. Metafizica, capitolul cinci. - M. - L. , 1934. - S. 26-27.
  3. ↑ Aceasta se referă nu la actualul Kaliningrad, ci la Königsberg din Bavaria .
Surse
  1. ↑ Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii, 1984 , p. 44-47.
  2. ↑ Young V. N. Eseuri despre justificarea matematicii. - M . : Uchpedgiz, 1958. - S. 7.
  3. ↑ Wigner EP The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences  // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1960. - Nr. 13 . - S. 1-14 . Vezi traducerea rusă în cartea Etudes on Symmetry . - M . : Mir, 1971. sau în UFN pentru martie 1968 Copie de arhivă din 23 martie 2012 la Wayback Machine .
  4. ↑ Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii, 1984 , p. 323-407.
  5. ↑ Ireland K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne. - Moscova: Mir, 1987. - S. 53. - 428 p.
  6. ↑ Frolov B. A. Numerele în grafica paleolitică. - Novosibirsk: Nauka, 1974. - 240 p.
  7. ↑ 1 2 Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, p. 12-13.
  8. ↑ Mach E. Cunoașterea și amăgirea // Albert Einstein și teoria gravitației. - M . : Mir, 1979. - S. 74 (nota de subsol). — 592 p. : „Înainte de a apărea conceptul de număr, trebuie să existe o experiență conform căreia, într-un anumit sens , obiectele de valoare egală există multiple și invariabile .”
  9. ↑ Andronov, 1959 , p. 40-54.
  10. ↑ Andronov, 1959 , p. 60-77.
  11. ↑ Andronov, 1959 , p. 77-94.
  12. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, p. paisprezece.
  13. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, p. 21-33.
  14. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, p. 30-32.
  15. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, p. 158.
  16. ↑ Cunoștințele de științe naturale ale Rusiei antice (secolele XI-XV) . www.portal-slovo.ru. Preluat la 19 mai 2019. Arhivat din original la 24 septembrie 2020.
  17. ↑ Sofya Kovalevskaya: prima femeie profesor de matematică din lume  // www.rosimperija.info. Arhivat 18 mai 2019.
  18. ↑ Nemorary. Despre aceste numere / Per. si aprox. S. N. Schrader. Ed. I. N. Veselovsky // Cercetări istorice şi matematice. - 1959. - T. XII . - S. 559-678 .
  19. ↑ Zubov V.P. Din istoria atomismului medieval // Proceedings of the Institute of the History of Natural Science. - 1947. - T. I. - S. 293 .
  20. ↑ Orem N. Tratat de configurație a calităților // Cercetări istorice și matematice / Per. V. P. Zubova . - M. , 1958. - Numărul. 11 . - S. 601-732 .
  21. ↑ Alexandrov A.D. Matematica, conținutul, metodele și sensul ei (în trei volume). - Academia de Științe a URSS, 1956. - T. 1. - S. 39-40. — 296 p.
  22. ↑ Gindikin S. G. Povești despre fizicieni și matematicieni . - M . : Nauka, 1982. - (Bibl. „Quantum”, numărul 14).
  23. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, p. 304-305.
  24. ↑ Fr. Viete . Introducere a analizei artei. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. I, 1868.
  25. ↑ Descartes R. Geometry Copie de arhivă din 13 noiembrie 2007 la Wayback Machine // Discurs asupra metodei, cu aplicații / Traducere, articole și comentarii de G. G. Slyusarev și A. P. Yushkevich. M.-L.: Ed. Academia de Științe a URSS, 1953.
  26. ↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul II, p. 21.
  27. ↑ Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica. // R. Descartes. Geometrie. M.-L.: 1938. S. 255-294.
  28. ↑ Descartes R. Geometrie. Cu aplicarea lucrărilor selectate de P. Fermat și corespondența lui Descartes / Traducere, note și articol de A. P. Yushkevich. M.-L.: 1938.
  29. ↑ Bernoulli J. Despre legea numerelor mari / Per. Da. V. Uspenski. Cuvânt înainte de A. A. Markov. Moscova: Nauka, 1986.
  30. ↑ I. Kepler. Noua stereometrie a butoaielor de vin Arhivat 8 februarie 2013 la Wayback Machine / Per. și prefață de G. N. Sveșnikov. Articolul introductiv de M. Ya. Vygodsky. M.-L.: GTTI, 1935. S. 109.
  31. ↑ Cavalieri B. Geometrie, enunțată într-un mod nou cu ajutorul indivizibililor continui, cu aplicarea „Experimentului IV” privind aplicarea indivizibililor la puteri algebrice / Trad., articol introductiv și comentarii de S. Ya. Lurie. M.-L.: 1940.
  32. ↑ Fermat P. Introducere în studiul locurilor plate și spațiale. Despre maxim si minim. Extrase din corespondența cu Descartes // R. Descartes. Geometrie. M.-L.: 1938. S. 137-196.
  33. ↑ I. Newton. Lucrări de matematică / Traducere, articole și comentarii de D. D. Mordukhai-Boltovsky. M.-L.: 1937.
  34. ↑ Leibniz G. V. pasaje alese din lucrări de matematică / Compilat și tradus de A. P. Yushkevich. - Succes, Math. Științe, 1948. T. III. V. I (23). pp. 165-204.
  35. ↑ Antoine Arnault . Noi începuturi ale geometriei ( nouveau elemente de geometrie franceze  ), Paris, 1667.
  36. ↑ J. Lagrange. Mecanica analitica, vol. I, II Copie de arhiva din 1 august 2008 la Wayback Machine / Per. V. S. Gokhman, ed. L. G. Loitsyansky și A. I. Lurie. M.-L.: 1950.
  37. ↑ Laplace P. S. Statement of the system of the world. - L .: Nauka, 1982. 376 p.
  38. ↑ L. Euler. Introducere în analiza infinitului. Vol . I Arhivat 1 mai 2013 la Wayback Machine / Per. E. L. Patsanovsky, articol de A. Speiser, ed. I. B. Pogrebyssky. S. 109.
  39. ↑ Kotek V. V. Leonhard Euler. M.: Uchpedgiz, 1961
  40. ↑ Laplace P. Experiență în filosofia teoriei probabilităților / Per. AIB; ed. A. K. Vlasova. M.: 1908.
  41. ↑ Panov V.F. Matematică antică și tânără. - Ed. al 2-lea, corectat. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 477. - 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
  42. ↑ G. Monge. Geometrie descriptivă / Per. V. F. Gaze, editat de D. I. Kargip. M.: 1947.
  43. ↑ Gauss K. F. Cercetări generale asupra suprafețelor curbe Arhivat 5 martie 2014 la Wayback Machine // Foundations of Geometry. M.: GITTL, 1956.
  44. ↑ Stroyk D. Eseu despre istoria geometriei diferenţiale. M.; L.: Gostekhizdat, 1941.
  45. ↑ Riemann B. Works Arhivat 1 mai 2013 la Wayback Machine M.-L.: OGIZ. GITTL, 1948.
  46. ↑ O. L. Cauchy. Analiza algebrică / Per. F. Ewald, V. Grigoriev, A. Ilyin. Leipzig: 1864. S. VI.
  47. ↑ K. F. Gauss Proceedings in number theory Copie de arhivă din 14 septembrie 2011 la Wayback Machine / Per. B. B. Demyanova, ed. generală. I. M. Vinogradov, comentarii de B. N. Delaunay. M.: Editura Academiei de Științe a URSS, 1959.
  48. ↑ Cassels J. Introducere în geometria numerelor M.: Mir, 1965.
  49. ↑ Galois E. Works. M.-L.: ONTI, 1936.
  50. ↑ Hilbert Issues Arhivat la 1 iunie 2013 la Wayback Machine / Ed. P. S. Alexandrova. M.: „Nauka”, 1969. S. 34.
  51. ↑ Jevons S. Fundamentals of Science. Sankt Petersburg: 1881.
  52. ↑ Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii, 1984 , p. 228-250.
  53. ↑ Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii, 1984 , p. 251-299.
  54. ↑ Alexandrov A.D. Matematica, conținutul, metodele și sensul ei (în trei volume). - Academia de Științe a URSS, 1956. - T. 1. - S. 59-60. — 296 p.
  55. ↑ Postnikov A. G. Teoria probabilității numerelor. - M . : Cunoașterea, 1974. - 64 p. - (Nou în viață, știință).
  56. ↑ Weil G. O jumătate de secol de matematică, 1969 , p. 7-8.
  57. ↑ Graham, Ronald. Matematică și calculatoare: probleme și perspective // ​​Kvant . - 2016. - Nr 3 . - P. 2-9.

Literatură

întreaga perioadă istorică Istoria antica Timp nou, secolele XVI-XVIII secolele XIX-XX

Link -uri

 Istoria matematicii
Țări și epoci

Secțiuni tematice
Vezi si