Teorema lui Euler pentru poliedre

Teorema lui Euler pentru poliedre  este o teoremă care stabilește o relație între numărul de vârfuri, muchii și fețe pentru poliedre care sunt echivalente topologic cu o sferă .

Formulare

Fie  numărul de vârfuri ale unui poliedru convex,  numărul muchiilor acestuia și  numărul de fețe. Apoi egalitatea

Exemple de poliedre regulate :

Istorie

În 1620, René Descartes a arătat că suma unghiurilor tuturor fețelor unui poliedru este egală și în același timp . Aceasta implică direct afirmarea teoremei.

În 1750, Leonhard Euler a dovedit identitatea poliedrelor convexe. Teorema lui Euler a pus bazele pentru o nouă ramură a matematicii - topologie . O dovadă mai riguroasă a fost dată de Cauchy în 1811.

Multă vreme s-a crezut că relația Euler este valabilă pentru orice poliedră. Primul contraexemplu a fost dat de Simon Lhuillier în 1812; când a examinat o colecție de minerale, el a atras atenția asupra unui cristal transparent de feldspat , în interiorul căruia se afla un cristal cubic negru de sulfură de plumb . Luillier a realizat că un cub cu o cavitate cubică în interior nu se supune formulei lui Euler. Ulterior, au fost descoperite și alte contraexemple (de exemplu, două tetraedre lipite de-a lungul unei margini sau având un vârf comun), iar formularea teoremei a fost rafinată: este adevărat pentru poliedre echivalente topologic cu o sferă [1] .

Generalizări

• Caracteristica lui Euler generalizează formula lui Euler la poliedre cu orice număr de găuri și chiar, într-o formă mai complexă, la spații topologice .
• Formula lui Euler pentru un graf plan conex are aceeași formă, dar se aplică oricăror grafuri plane, nu doar celor care pot fi cadre poliedrice în spațiul 3D.

Vezi și

• Lista obiectelor numite după Leonhard Euler

Note

1. ↑ Lakatos I. Dovezi și infirmare. Cum se dovedesc teoremele? - M .: Nauka, 1967.