Poliedru flexibil

Un poliedru îndoit este un poliedru (mai precis, o suprafață poliedrică ), a cărui formă spațială poate fi modificată prin deformare continuă în timp, în care fiecare față nu își schimbă dimensiunea (adică se mișcă ca un corp solid), iar deformarea se realizează numai datorită unei modificări continue a unghiurilor diedrice . O astfel de deformare se numește îndoire continuă a poliedrului.

Exemple

• Primele exemple de poliedre flexibile au fost construite de inginerul și matematicianul belgian Raoul Bricard în 1897 [1] . Acum se numesc octaedre Bricard . Nu sunt doar neconvexe, ci au și auto-intersecții, ceea ce face imposibilă construirea modelului lor de carton în mișcare.

• În 1976, matematicianul american Robert Connelly a construit pentru prima dată un poliedru flexibil fără auto-intersecții [2] .

• Dintre toate poliedrele îndoibile fără auto-intersecții cunoscute în prezent , poliedrul construit de matematicianul german Klaus Steffen [3] are cel mai mic număr de vârfuri ( nouă ) . Poliedrul Steffen poate fi tăiat cu ușurință din hârtie (vezi articolul).

• Există exemple de poliedre flexibile care sunt realizări ale unui tor [4] sau a unei sticle Klein sau, în general, a unei suprafețe bidimensionale a oricărui gen topologic.

• Octaedru Bricard pliabil de primul tip

• Octaedru Bricard pliabil de al doilea tip

• Poliedrul Steffen flexibil

• Dezvoltarea unui poliedru Steffen flexibil

Proprietăți

Există multe afirmații frumoase și netriviale în teoria poliedrelor flexibile. Următoarele sunt cele mai importante fapte stabilite până în prezent:

• Nici un poliedru convex nu poate fi flexibil. Acest lucru decurge imediat din teorema lui Cauchy asupra definiției unice a unui poliedru convex, demonstrată în 1813 .

• Din formula Schläfli rezultă că orice poliedru îndoit reține așa-numita curbură medie integrală în timpul îndoirii, adică un număr egal cu , unde este lungimea muchiei , este valoarea unghiului diedrului intern la margine , și suma enumeră toate muchiile poliedrului [5] .

• Teorema lui Sabitov : orice poliedru îndoit își păstrează volumul în timpul îndoirii , adică se va îndoi chiar dacă este umplut cu un fluid incompresibil [6] .

• În 2012, A. Gaifullin a dovedit un analog multidimensional al teoremei lui Sabitov - orice poliedru îndoit în dimensiune își păstrează volumul în timpul îndoirii. [7]

Variații și generalizări

Toate cele de mai sus se refereau la poliedre din spațiul euclidian tridimensional. Cu toate acestea, definiția de mai sus a unui poliedru flexibil se aplică atât spațiilor cu dimensiuni mari, cât și spațiilor non-euclidiene, cum ar fi spațiul sferic și spațiul Lobachevsky . Atât teoremele netriviale, cât și întrebările deschise sunt, de asemenea, cunoscute pentru ele. De exemplu:

• Poliedre flexibile există în toate dimensiunile, atât în ​​spațiul euclidian, cât și în spațiul sferic și în geometria Lobachevsky. Exemple de analogi ale octaedrelor Bricard flexibile în sfera tridimensională și în spațiul Lobachevsky au fost construite de Stachel. Primul exemplu de poliedru cu patru dimensiuni cu auto-intersectare flexibil a fost construit de A. Waltz. În cele din urmă, exemple de poliedre flexibile în toate dimensiunile și în toate cele trei geometrii (euclidiană, sferică, Lobachevsky) au fost construite de Gaifullin. [8] [9]

• Într-un spațiu sferic de orice dimensiune, există un poliedru flexibil al cărui volum nu este constant în timpul procesului de îndoire. Un exemplu de astfel de politop cu auto-intersectare în dimensiunea 3 a fost construit în 1997 de Aleksandrov [10] , iar un exemplu de politop care nu se intersectează singur într-un spațiu sferic de orice dimensiune a fost construit de A. A. Gaifullin în lucrarea sa din 2015 [ 11] . Dimpotrivă, în spațiul Lobaciovsky tridimensional și, în general, în spațiul Lobaciovsky de orice dimensiune impară, trebuie păstrat volumul unui poliedru flexibil (la fel ca în cazul euclidian). [12] [13] .

Întrebări deschise

• Este adevărat că poliedrul Steffen are cel mai mic număr de vârfuri dintre toate poliedrele flexibile care nu au auto-intersecții [14] ;

• Este adevărat că dacă un poliedru care nu are auto-intersecții se obține dintr-un alt poliedru, care, de asemenea, nu are auto-intersecții, prin îndoire continuă, atunci aceste poliedre sunt echi-compuse , adică prima poate fi împărțită într-un număr finit de tetraedre , fiecare dintre aceste tetraedre poate fi mutat independent de celelalte în spațiu și obține o partiție a celui de-al doilea poliedru [15] .

• În dimensiunile începând de la 4, nu se știe dacă există poliedre flexibile care nu se intersectează. [12]

• Nu se știe dacă teorema burdufului este valabilă (dacă volumul trebuie păstrat sub îndoire) în spațiile Lobachevsky de dimensiune pare (4, 6,...). [12]

Literatură populară

• V. A. Aleksandrov, Suprafețe poliedrice flexibile  (link inaccesibil) , Soros Educational Journal . 1997 Nr. 5. S. 112-117. Același articol a fost republicat într-o carte editată de V. N. Soifer și Yu. P. Solovyov: Modern natural science . Enciclopedie . Vol. 3: Matematică și mecanică M.: Nauka , M.: Flinta, 2000. ISBN 5-02-004299-4 .
• M. Berger , Geometrie . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
• VA Zalgaller , Poliedru flexibil continuu , Kvant . 1978 Nr. 9. P. 13-19.
• A. I. Medyanik, Modelul poliedrului Connelly , Kvant . 1979 nr. 7. P. 39. (Rețineți că dezvoltarea poliedrului Connelly este dată în același număr al revistei de pe coperta din spate .)
• LOR. Sabitov,. Volumele de poliedre . — M.: MTsNMO , 2002. — 32 p.
• David A. Klarner . Grădină de flori matematică. Culegere de articole și probleme = The Mathematical Gardner / Per. din engleza. Yu. A. Danilova ; ed., cu prefaţă. și aplicația. I. M. Yagloma . - M . : Mir, 1983. - S. 105-117. — 494 p.
• Cursul 25 la Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Divertisment matematic . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 de exemplare.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .
• Film „ Poliedre flexibile ”, site Studii matematice
• Matematică reală: poliedre flexibile pe YouTube

Literatură științifică

• V. A. Aleksandrov, Un nou exemplu de poliedru flexibil , Sibirsk. mat. revistă 1995. V. 36, nr 6. S. 1215-1224.
• N. H. Kuiper , Flexible polyhedral spheres , după Robert Connelly , în voi. ed. A. N. Kolmogorova și S. P. Novikova : Studii în teoria metrică a suprafețelor. M.: Mir. 1980. S. 210-227.
• P. Connelly , Pe o abordare a problemei inflexibilității . Acolo. pp. 164-209.
• R. Connelly , Câteva ipoteze și întrebări nerezolvate în teoria îndoirilor . Acolo. pp. 228-238.
• I. G. Maksimov, Poliedre inflexibile cu un număr mic de vârfuri , Fundam. apl. matematica. 2006. Vol. 12, Nr. 1. S. 143-165.
• S. N. Mikhalev, Unele condiții metrice necesare pentru îndoirea suspensiilor , Vestnik MGU, Ser. I, 2001, nr. 3, 15-21.
• I. Kh. Sabitov , Volumul unui poliedru în funcție de metrica sa , Fundam. apl. matematica. 1996. Vol. 2, Nr. 4. S. 1235-1246.
• I. Kh. Sabitov , Formula generalizată Heron-Tartaglia și unele dintre consecințele ei , Mat. sat. 1998. Vol. 189, Nr. 10. S. 105-134.

Note

1. ↑ R. Bricard. Arhivat din original la 17 iulie 2011, în prezent, Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé . J Math. Pure Appl. 1897. 3 . P. 113-150 (vezi și traducerea în engleză ).
2. ↑ R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces , Math. Mag. 52 (1979), nr. 5, 275-283.
3. ↑ M. Berger , Geometrie . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
4. ↑ V. A. Aleksandrov, Un nou exemplu de poliedru flexibil , Sib. mat. revistă 1995. V. 36, nr 6. S. 1215-1224.
5. ↑ R. Alexander, Lipschitzian mappings and total mean curture of polyhedral surfaces. Eu , Trans. amer. Matematică. soc. 1985 Vol. 288, nr. 2, 661-678.
6. ↑ I. Kh. Sabitov , Volumul unui poliedru în funcție de lungimile muchiilor sale , Fundam. apl. matematica. 1996. V. 2, Nr. 1. S. 305-307.
7. ↑ A. Gaifullin. Generalizarea teoremei lui Sabitov la dimensiuni arbitrare (2012). (nedefinit)
8. ↑ H. Stachel , Octaedre flexibile în spațiul hiperbolic , în ed. de carte. A. Prekopa: Geometrii non-euclidiene. Volumul memorial Janos Bolyai. Lucrări de la conferința internațională de geometrie hiperbolică, Budapesta, Ungaria, 6-12 iulie 2002 . New York, NY: Springer. Matematica și aplicațiile sale 581 , 209-225 (2006).
9. ↑ A. A. Gaifullin , Flexible cross-politopes in spaces of constant curbura, Tr. MIAN , 286 (2014), 88–128.
10. ↑ V. Alexandrov, Un exemplu de poliedru flexibil cu volum neconstant în spațiul sferic, Beitr. Algebră Geom. 38 , Nr. 1, 11-18 (1997). ISSN 0138-4821.
11. ↑ A. A. Gaifullin, Politopi încrucișați sferici flexibili imbricați cu volume non-constante , Tr. MIAN, 288 (2015), 67–94.
12. ↑ 1 2 3 „Poliedre flexibile”, Studii matematice, http://www.etudes.ru/ru/etudes/sabitov/
13. ↑ A. A. Gaifullin, Continuarea analitică a volumului și ipoteza burdufului în spațiile Lobachevsky , Mat. sat. , 206 :11 (2015), 61–112
14. ↑ I. G. Maksimov, Poliedre inflexibile cu un număr mic de vârfuri , Fundam. apl. matematica. 2006. Vol. 12, Nr. 1. S. 143-165.
15. ↑ Vezi p. 231 din carte, ed. AN Kolmogorova și SP Novikova : Studii în teoria metrică a suprafețelor . M.: Mir. 1980. Această presupunere a fost publicată pentru prima dată în engleză în R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces , Math. Mag. 1979 Vol. 52. P. 275-283.