Dodecaedrul Bilinsky

Dodecaedrul Bilinsky
( model rotativ )
Proprietăți	convex , zonoedru
Combinatorică
Elemente	12 fețe 24 muchii 14 vârfuri X  = 2
Fațete	12 diamante
Configurația vârfurilor	4+4(4.4.4) 4+2(4.4.4.4)
Clasificare
Grupul de simetrie	D2h _
Fișiere media la Wikimedia Commons

Dodecaedrul lui Bilinsky [1] este un poliedru ( zonoedru ) compus din 12 romburi de aur identice .

Este izomorf din punct de vedere topologic cu dodecaedrul rombic , dar, spre deosebire de acesta, nu este izoedric (deși toate fețele sale sunt, de asemenea, congruente ) și are un grup de simetrie diferit .

Fețele dodecaedrului Bilinsky sunt romburi cu raportul diagonalelor egal cu raportul de aur ; ele sunt ceva mai alungite decât fețele dodecaedrului rombic, care sunt romburi cu raportul diagonalelor.

• Față de dodecaedru rombic

• Bilinsky dodecaedru față

Are 14 vârfuri. La 2 vârfuri , patru fețe converg cu colțurile lor ascuțite; la 4 vârfuri trei fețe converg cu unghiuri obtuze; în 4 vârfuri converg o faţă cu unghi ascuţit şi două obtuze; în 4 vârfuri trei fețe converg cu colțuri ascuțite și una obtuză.

Dodecaedrul Bilinsky are 24 de muchii de lungime egală. Cu 12 muchii (adiacent vârfurilor marcate cu roșu în figură ), unghiurile diedrice sunt egale cu 8 muchii (între vârfurile verzi și albastre ) - cu 4 muchii (între vârfurile negre și verzi ) -

În coordonate

Dodecaedrul Bilinsky poate fi plasat în sistemul de coordonate carteziene astfel încât vârfurile sale să aibă coordonate

• 
• 
• 
• 

În acest caz, centrul de simetrie al poliedrului va coincide cu originea, trei axe de simetrie vor coincide cu axele Ox, Oy și Oz, iar trei plane de simetrie vor coincide cu planele xOy, xOz și yOz.

Caracteristici metrice

Dacă dodecaedrul Bilinsky are o muchie de lungime , suprafața și volumul său sunt exprimate ca

Istorie

Pentru prima dată acest poliedru se găsește sub denumirea de „dodecarombe” în 1752 într-o ilustrație din cartea matematicianului englez John Lodge Cowley [2] [3] .

A fost redescoperit în 1960 de matematicianul croat Stanko Bilinsky [4] , care l-a numit „un dodecaedru rombic de al doilea fel” [5] . Descoperirea lui Bilinsky a umplut un gol care a rămas neobservat timp de 75 de ani în clasificarea poliedrelor convexe cu fețe rombice congruente, descrisă de Evgraf Fedorov [6] .

Harold Coxeter într-o lucrare din 1962 [7] a afirmat în mod eronat că dodecaedrul Bilinsky poate fi obținut printr -o transformare afină a dodecaedrului rombic. Această afirmație este falsă [6] .

Dovada Luați în considerare două segmente din ilustrațiile de mai sus: diagonala poliedrului care leagă două vârfuri albastre și diagonala feței care leagă vârful roșu de verde . În dodecaedrul Bilinsky, aceste segmente nu sunt paralele, dar în dodecaedrul rombic, segmentele corespunzătoare acestora sunt paralele. Și din moment ce transformarea afină păstrează paralelismul segmentelor, este imposibil să se obțină un poliedru din altul folosind expansiuni și contracții afine.

Note

1. ↑ W. Ball, G. Coxeter . Eseuri de matematică și divertisment. — M.: Mir, 1986. — P. 157.
2. ↑ John Lodge Cowley. Geometrie ușoară; Sau, o explicație nouă și metodică a elementelor de geometrie. - Londra, 1752. - Planşa 5, Fig. 16.
3. ↑ Hart, George W. (2000), A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron , Symmetry: Culture and Science vol. 11 (1–4): 183–199 , < http://www.georgehart.com/dissect -re/disect-re.htm >  . ( Arhivat 1 octombrie 2015 la Wayback Machine )
4. ↑ Bilinski, S. (1960), Uber die Rhombenisoeder, Glasnik Mat. Fiz. Astr. T. 15: 251–263  .
5. ↑ Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra: One of the most charming chapters of geometry , Cambridge: Cambridge University Press , p. 156, ISBN 0-521-55432-2 , < https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA156 >  .
6. ↑ 1 2 Grünbaum, Branko (2010), The Bilinski dodecahedron and sorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra , The Mathematical Intelligencer vol . 32 (4): 5–15 , DOI 10.1002-807-3-801/s  .
7. ↑ Coxeter, HSM (1962), The classification of zonohedra by means of projective diagrams, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées vol. 41: 137–156  .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Bilinski Dodecaedrul  la Wolfram MathWorld .
• David I. McCooey. Dodecaedrul lui Bilinski

Poliedre
Corect	Tridimensional (solide platonice) tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru 4D Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule Dimensiune mai mare (indicată între paranteze) Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru
Regular neconvex	dodecaedru stelat Icosidodecaedru stelat icosaedru stelat poliedru stelar octaedru stelat
Tridimensional după numărul de fețe (indicat între paranteze)	Monoedru (1) diedru (2) Triedru (3) Tetraedru (4) Pentaedru (5) Hexaedru (6) Heptaedru (7) Octaedru (8) Enneaedrul (9) Decaedru (10) Endecaedru (11) Dodecaedru (12) Tridecaedru (13) Tetradecaedru (14) Pentadecaedru (15) Hexadecaedru (16) Heptadecaedru (17) Octadecaedru (18) Eneadecaedru (19) Icosaedru (20) Icosotetraedru (24) Triacontaedru (30) Hexacontaedru (60) Enneacontaedru (90) Hectotriadiohedron (132) Apeirohedron (∞)
convex	Solide arhimediene Cuboctaedru icosidodecaedru tetraedru trunchiat octaedru trunchiat Icosaedru trunchiat cub trunchiat dodecaedru trunchiat Rombicuboctaedru Rombicosidodecaedru Cuboctaedru trunchiat Icosidodecaedru rombotruncat cub snub dodecaedru snub organismele catalane dodecaedru rombic Rombotricontaedrul Triakistetraedrul Tetrakishexaedru Pentakisdodecaedru Triakisoctaedrul Triakisicosaedrul Icositetraedrul deltoidal Hexecontaedrul deltoidal Hexakisoctaedru hexakisicosaedru Icositetraedru pentagonal Hexecontaedru pentagonal Prisme prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală poliedre Johnson piramidă pătrată Piramida pentagonală Dom cu trei pante Dom cu patru brațe cupolă cu cinci pante rotondă cu cinci pante Piramidă triunghiulară alungită Piramidă patruunghiulară alungită Piramidă pentagonală alungită Piramidă patruunghiulară alungită răsucită Piramidă pentagonală alungită răsucită bipiramida triunghiulara Bipiramidă pentagonală Bipiramidă triunghiulară alungită Bipiramidă patruunghiulară alungită Bipiramidă pentagonală alungită Bipiramidă patruunghiulară alungită răsucită Dom triunghiular alungit Dom cu șold alungit Dom alungit cu cinci laturi Rotondă alungită cu cinci pante Dom triunghiular alungit răsucit Dom alungit răsucit cu patru trepte Dom alungit răsucit cu cinci trepte Rotondă răsucită alungită cu cinci pante Gyrobifastigium Bidom drept cu trei pante Bidom drept cu patru pante Bidom cu patru pante Bidom drept cu cinci pante Bi-dom înclinat cu cinci Cupola dreaptă cu cinci pante Dom-orotonda cu cinci pante Birotunda dreaptă cu cinci pante Bidom drept alungit cu trei pante Bidom rotit cu trei pante alungite Girobicupol pătrat alungit Bidom drept alungit cu cinci pante Bi-dom alungit cu cinci pante Cupola dreaptă alungită cu cinci pante Cupolă alungită, întoarsă cu cinci pante Birotunda dreaptă alungită cu cinci pante Birotunda alungită cu cinci pante Bidom răsucit alungit cu trei pante Bi-dom răsucit alungit cu patru lanțuri Bidom răsucit alungit cu cinci pante Cupola răsucită alungită cu cinci pante Birotunda alungită răsucită cu cinci pante Prismă triunghiulară extinsă Prismă triunghiulară dublu extinsă Prismă triunghiulară triplă extinsă Prismă pentagonală extinsă Prismă pentagonală dublu extinsă Prismă hexagonală extinsă Prismă hexagonală extinsă dublu opusă Prismă hexagonală extinsă dublu oblic Prismă hexagonală triplă extinsă dodecaedru mărit Dodecaedrul întins de două ori Dodecaedrul întins de două ori Dodecaedru triplu sporit Icosaedru dublu tăiat oblic Icosaedru tăiat triplu Icosaedru cu tăietură triplă mărită Tetraedru trunchiat sporit Cub trunchiat sporit Cub trunchiat dublu mărit Dodecaedru trunchiat mărit Dodecaedru trunchiat dodecaedru dublu extins Dodecaedru dodecaedru Dodecaedru trunchiat triplu-augmentat Rombicosidodecaedru răsucit Rombicosidodecaedru dublu răsucit Rombicosidodecaedru dublu răsucit Rombicosidodecaedru tri-răsucit Tăiați rombicosidodecaedrul Rombicosidodecaedru trunchiat răsucit invers Rombicosidodecaedru trunchiat răsucit oblic Rombicosidodecaedru trunchiat dublu răsucit Rombicosidodecaedru tăiat dublu opus Rombicosidodecaedrul tăiat oblic de două ori Rombicosidodecaedru tăiat dublu răsucit Rombicosidodecaedru trisectat biclinoid scuamos Antiprismă pătrată snub coroană de pană Coroană de pană extinsă Coroană cu pană mare Coroană mare aplatizată Biclinic cu centuri Serporotonda dublă Clinorotondă triunghiulară turtită Piramidă Bipiramida antiprismă Zonoedru Paralelipiped Romboedru prismatoid Tetraedru Piramida trunchiată Pentagondodecaedru paraleloedru Dom Rotunda Birotonda Deltaedrul Dodecaedru trapecerombic Dodecaedrul Bilinsky Poliedru ciclic
Formule , teoreme , teorii	Teorema de baleiaj a lui Alexandrov teorema lui Bleecker Teorema politopului lui Cauchy Teorema politopului Lindelöf Teorema poliedrelor lui Minkowski teorema lui Sabitov Teorema lui Euler pentru poliedre formula Schläfli
Alte	Simbolul Schläfli Notație Conway poliedrul Silashi poliedrul Chasar poliedrul Schoenhardt Poliedru flexibil ( poliedrul Steffen ) poliedrul Hanner Holyhedron Poliedru de permutare tetraedru ortocentric Tetraedru izoedric cuboid Grupul poliedrului Dodecaedre Unghi solid cub unitar Scanează Parchet Scutoid