Un poliedru stelat ( corp stelat ) este un poliedru neconvex ale cărui fețe se intersectează. Ca și în cazul poliedrelor nestelate , fețele sunt conectate în perechi la muchii (în acest caz, liniile de intersecție interne nu sunt considerate muchii).
Forma stea a unui poliedru este un poliedru obținut prin extinderea fețelor unui poliedru dat prin muchii până la următoarea lor intersecție cu alte fețe de-a lungul unor noi muchii.
Poliedre stea regulate sunt poliedre stea ale căror fețe sunt identice ( congruente ) regulate sau poligoane stea . Spre deosebire de cele cinci poliedre regulate clasice ( solide platonice ), aceste poliedre nu sunt solide convexe.
În 1811 , Augustin Lou Cauchy a stabilit că există doar 4 corpuri stelare regulate (se numesc corpi Kepler-Poinsot ), care nu sunt compuși ai corpurilor platoniciene și stelate. Acestea includ micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru stelat descoperit de Johannes Kepler în 1619 , precum și marele dodecaedru și marele icosaedru descoperit în 1809 de Louis Poinsot . Poliedrele stelate regulate rămase sunt fie compuși ai solidelor platonice, fie compuși ai solidelor Kepler-Poinsot [1] .
Poliedre stea semiregulate sunt poliedre stea ale căror fețe sunt poligoane regulate sau stea , dar nu neapărat aceleași. În acest caz, structura tuturor vârfurilor trebuie să fie aceeași (condiția de omogenitate). G. Coxeter , M. Longuet-Higgins și J. Miller au enumerat în 1954 53 de astfel de corpuri și au prezentat o ipoteză cu privire la caracterul complet al listei lor [2] . Abia mult mai târziu, în 1969 , Sopov S.P. a reușit să demonstreze că lista poliedrelor prezentate de ei este într-adevăr completă.
Multe forme de poliedre stelate sunt sugerate de natura însăși. De exemplu, fulgii de zăpadă sunt proiecții plate ale poliedrelor stelate. Unele molecule au structurile corecte ale figurilor tridimensionale.
În aceste figuri, fiecare față este pictată cu propria sa culoare pentru frumusețe și claritate.
Poliedre uniforme - poliedre convexe regulate și semiregulate (solide platonice și arhimedice); Poliedre stea regulate și semiregulate sunt numite colectiv poliedre uniforme. Pentru aceste corpuri, toate fețele sunt poligoane regulate (convexe sau în formă de stea), iar toate vârfurile sunt aceleași (adică există transformări ortogonale ale unui poliedru în sine, transferând orice vârf la oricare altul). Există exact 75 de poliedre uniforme.
Tetraedrul și hexaedrul ( cubul ) nu au forme de stea, deoarece fețele lor nu se mai intersectează atunci când sunt extinse prin margini.
Există o singură stelare a octaedrului . Octaedrul stelat a fost descoperit de Leonardo da Vinci , apoi, aproape 100 de ani mai târziu, redescoperit de I. Kepler și numit de el Stella octangula - o stea octogonală. Prin urmare, această formă are un al doilea nume: „Stella octangula a lui Kepler”; de fapt, este un compus din două tetraedre.
Dodecaedrul are 3 stelări: dodecaedru stelat mic , dodecaedru mare , dodecaedru stelat mare (dodecaedru mare stelat, formă finală). Spre deosebire de octaedru, oricare dintre stelările dodecaedrului nu este un compus al solidelor platonice, ci formează un nou poliedru.
Fețele marelui dodecaedru sunt pentagoane care se întâlnesc cinci la fiecare vârf. Dodecaedrele mici stelate și marile stelate au fețe - stele cu cinci colțuri (pentagrame), care în primul caz converg cu 5, iar în al doilea cu 3 fețe într-un singur vârf.
Vârfurile marelui dodecaedru stelat coincid cu vârfurile dodecaedrului circumscris.
Icosaedrul are 59 de stelări, dintre care 32 au simetrie icosaedrică completă și 27 incompletă, lucru demonstrat de Coxeter împreună cu Duval, Flazer și Petrie folosind regulile de restricție stabilite de J. Miller. Una dintre aceste stelări (a 20-a, modelul 41 după Wenninger), numită marele icosaedru (vezi figura), este una dintre cele patru poliedre stelate regulate Kepler-Poinsot . Fețele sale sunt triunghiuri regulate care converg la fiecare vârf cinci; această proprietate este împărtășită de icosaedrul mare cu icosaedrul.
Printre formele stelate se mai numără: un compus din cinci octaedre , un compus din cinci tetraedre , un compus din zece tetraedre . Prima stelare este icosaedrul triambic mic .
Dacă fiecare dintre fețe este continuată la nesfârșit, atunci corpul va fi înconjurat de o mare varietate de compartimente - părți ale spațiului delimitate de planurile fețelor. Toate formele stelate ale icosaedrului pot fi obținute prin adăugarea unor astfel de compartimente la corpul original. În afară de icosaedrul însuși, extensiile fețelor sale sunt separate de spațiu prin 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 de compartimente de zece forme și dimensiuni diferite. Marele icosaedru este alcătuit din toate aceste piese, cu excepția ultimelor șaizeci. Următoarea formă de stea este cea finală.
Cuboctaedrul are 4 stelari care satisfac restrictiile introduse de Miller. Prima dintre acestea este o combinație între un cub și un octaedru.
Icosidodecaedrul are multe stelări, dintre care prima este compusul dintre icosaedrul și dodecaedrul.
Icosidodecaedrul are 32 de fețe, dintre care 12 sunt fețe pentagonale regulate, iar restul de 20 sunt triunghiuri regulate.
Stellarea se referă la procesul de construire a unui poliedru dintr-un alt poliedru prin extinderea fețelor acestuia. Pentru a face acest lucru, se desenează plane prin fețele poliedrului original și se iau în considerare toate muchiile posibile obținute ca urmare a intersecției acestor plane și se selectează cele adecvate [4] .
Cubul și tetraedrul nu permit stelare. Octaedrul are o singură structură - octaedrul stelat . Dodecaedrul dă trei forme de stele.
| Formele stelare ale icosaedrului | |
|---|---|
| |