Teorema de baleiaj a lui Alexandrov
Teorema de desfășurare a lui Alexandrov este o teoremă privind existența și unicitatea unui poliedru convex închis cu o desfășurare dată, demonstrată de Alexander Danilovici Aleksandrov . [1] Unicitatea acestei teoreme este o generalizare a teoremei poliedrelor lui Cauchy și are o demonstrație similară.
Generalizarea acestei teoreme la metrici arbitrare pe sferă a jucat un rol cheie în formarea și dezvoltarea geometriei lui Alexander . O altă dovadă, bazată pe deformarea unui spațiu poliedric tridimensional , a fost propusă de Yu. A. Volkov în teza sa de doctorat din 1955. [2]
Formulare
O metrică poliedrică pe o sferă este izometrică față de suprafața unui poliedru convex dacă și numai dacă suma unghiurilor la oricare dintre vârfurile sale nu depășește . Mai mult, un poliedru este definit printr-o metrică pe suprafața sa până la congruență.
Se presupune că poliedrul degenerează într-un poligon plat, în acest caz suprafața poliedrului este definită ca o dublare a poligonului în limita sa, adică două copii ale poligonului lipite împreună în punctele corespunzătoare ale limitei.
Note
- În formularea originală, Alexandrov folosește conceptul de dezvoltare a unui poliedru pe un plan, adică un set de poligoane plate și regulile de lipire a acestor poligoane într-o metrică poliedrică. Una dintre astfel de dezvoltări poate fi obținută din setul tuturor fețelor unui poliedru cu o regulă de lipire naturală. Cu toate acestea, în general, poligoane cu model plat se pot suprapune cu mai multe fețe; Vezi poza.
Variații și generalizări
- (Teorema lui Alexandrov) O metrică intrinsecă pe o sferă este izometrică față de suprafața unui corp convex dacă și numai dacă are o curbură nenegativă în sensul Alexandrov . Se presupune că corpul degenerează într-o figură plată, în acest caz suprafața figurii este definită ca dublarea acesteia.
- (Teorema lui Pogorelov) În plus, un corp convex este definit în mod unic până la congruență.
- (Teorema lui Olovianishnikov) O metrică completă pe plan este izometrică față de suprafața unei mulțimi convexe numai dacă are curbură nenegativă în sensul lui Aleksandrov. Mai mult, conul de la infinit poate fi stabilit în mod arbitrar, cu condiția ca limita sa să fie izometrică față de conul de la infinit .
Vezi și
Note
- ↑ A. D. Alexandrov , Poliedre convexe . M.; L.: GITTL, 1950.
- ↑ Yu. A. Volkov. Existența unui poliedru cu o dezvoltare dată // Zap. științific familie POMI. - 2018. - T. 476 . - S. 50-78 .
Literatură
- N. Lebedeva şi A. Petrunin. Teorema lui Aleksandrov privind înglobarea politopilor .