Tetraedru izoedric

Un tetraedru izoedric  este un tip specific de tetraedru din spațiul euclidian .

Aparent, tetraedrele izoedrice au fost studiate pentru prima dată în detaliu de Adolf Schmidt în 1884 [1] și David Besso în 1886 [2] . În 1935, proprietățile tetraedrelor izoedrice au fost prezentate sistematic în cartea [3] .

Definiție

Un tetraedru se numește izoedru dacă toate fețele sale sunt triunghiuri egale.

Proprietăți

Există o serie de definiții echivalente ale tetraedrului izoedric:

  1. paralelipipedul descris în apropierea lui  este dreptunghiular;
  2. dezvoltarea lui, obținută prin tăierea lui de-a lungul a trei muchii convergente la un vârf, este un triunghi (acest triunghi trebuie să fie în unghi ascuțit, deoarece un triunghi obtuz sau dreptunghiular nu va forma un tetraedru atunci când este îndoit de-a lungul liniilor mediane);
  3. dezvoltarea sa, obținută prin tăierea unei linii întrerupte de trei verigi, este un paralelogram;
  4. are trei axe de simetrie - acestea sunt perpendiculare comune desenate pe muchii opuse, sunt și bimediane;
  5. toate unghiurile sale triedrice sunt egale
  6. suma unghiurilor triunghiurilor de la fiecare vârf este egală cu );
  7. suma cosinusurilor unghiurilor diedrice la fiecare vârf este 1;
  8. toate medianele sale sunt egale;
  9. toate înălțimile sale sunt egale;
  10. centrele sferelor înscrise și circumscrise și centroidul coincid;
  11. razele cercurilor circumscrise din jurul fețelor sunt egale;
  12. perimetrele fețelor sunt egale;
  13. zonele fețelor sunt egale;
  14. unghiurile diedrice opuse sunt egale;
  15. marginile opuse sunt egale;
  16. centrele sferelor înscrise se află pe sfera circumscrisă;
  17. între poliedre convexe, tetraedre izoedrice și numai ele admit geodezice închise arbitrar lungi fără autointersecții pe suprafețele lor; [4] (Aceeași proprietate distinge tetraedrele izoedrice între toate suprafețele convexe închise. [5] )
  18. tetraedrul este izoedric dacă și numai dacă egalitatea este valabilă . Aici , , , și este volumul tetraedrului . [6]

Note

  1. ↑ Ad. Schmidt, Das gleichseitige Tetraeder Arhivat la 4 ianuarie 2019 la Wayback Machine , Schlömilch Z. XXIX, 321-343 (1884).
  2. ↑ D. Besso, Sul tetraedro a face eguali , Besso Per. I. 1-12 (1886).
  3. ↑ P. Couderc, A. Balliccioni. Premier livre du tetraedre. A l'usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l'agrégation. Paris, Gauthier-Villars (1935). 204 p.
  4. ↑ V. Yu. Protasov . Despre numărul de geodezice închise pe un poliedru // Uspekhi Mat . - 2008. - T. 63 , nr. 5 (383) . — S. 197–198 .
  5. ↑ Akopyan, Arseniy; Petrunin, Anton; Geodezice lungi pe suprafețe convexe. Matematică. Intelligencer 40 (2018), nr. 3, 26-31, arXiv : 1702,05172
  6. ↑ M. Mazur. O inegalitate pentru volumul unui tetraedru  //  The American Mathematical Monthly . - 2018. - T. 125 , Nr. 3 . - S. 273-275 . — ISSN 0002-9890 .

Literatură

Link -uri