Teorema politopului lui Cauchy
Teorema politopului lui Cauchy afirmă că fețele unui politop, împreună cu regula de lipire, definesc complet un politop convex.
Formulare
Două poliedre convexe închise sunt congruente dacă există o corespondență unu-la-unu
între fețele, muchiile și vârfurile lor care păstrează incidența , iar fețele corespunzătoare ale poliedrelor sunt congruente.
Istorie
Întrebarea că fețele unui poliedru, împreună cu regulile de lipire, determină complet un poliedru convex a fost formulată de Legendre în ediția I a manualului său. [1]
Acolo a fost dată și lema cheie privind schimbările de semne a patru, care a fost folosită de Cauchy în demonstrația sa. [2]
Această dovadă conținea o eroare, care a fost observată de Steinitz și corectată abia în 1934 [3] .
Variații și generalizări
- Un rezultat similar este valabil în spațiile de toate dimensiunile începând de la 3.
- Pentru poliedre neconvexe, un rezultat similar nu este adevărat.
- Mai mult, există un politop neconvex care admite deformații continue în clasa poliedrelor cu fețe congruente. Un astfel de poliedru se numește flexibil . Cu toate acestea, conform teoremei lui Sabitov, volumul unui astfel de poliedru va rămâne neschimbat în timpul deformărilor.
- Conform teoremei de dezvoltare a lui Aleksandrov , condiția de congruență a fețelor poate fi slăbită la condiția de izometrie a metricii intrinseci a suprafeței unui poliedru.
- Mai mult, același lucru este valabil pentru orice suprafață convexă închisă ( teorema lui Pogorelov ).
Vezi și
Note
- ↑ Legendre, AM „Éléments de géométrie”. Paris, 1794. Nota XII. P. 321–334.
- ↑ Cauchy AL Sur les polygones et polyèdres, Second mémoire // J. de l'École Polytechnique. 1813. V. 9. P. 87–98.
- ↑ Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.
Literatură
- N. P. Dolbilin, Perlele teoriei poliedrelor . M.: MTsNMO, 2000. 40 p. ISBN 5-900916-48-0 ; Tiraj 2000 exemplare. Biblioteca seria „Educația matematică”, numărul 5.
- Cursul 24 în Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Divertisment matematic . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-731-7 .