Poliedru regulat

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 septembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Un poliedru regulat sau un solid platonic este un poliedru convex , format din poligoane regulate identice și având simetrie spațială.

Definiție

Un poliedru se numește regulat dacă:

este convex;
toate fețele sale sunt poligoane regulate egale ;
același număr de muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale .

Lista poliedrelor regulate

În spațiul euclidian tridimensional , există doar cinci poliedre regulate [1] (ordonate după numărul de fețe):

poliedru regulat	Numărul de vârfuri	Numărul de margini	Numărul de fețe	Numărul de laturi pe o față	Numărul de muchii adiacente unui vârf	Tip de simetrie spațială
Tetraedru	patru	6	patru	3	3	T d
Hexaedru	opt	12	6	patru	3	O h
Octaedru	6	12	opt	3	patru	O h
Dodecaedru	douăzeci	treizeci	12	5	3	eu h
icosaedru	12	treizeci	douăzeci	3	5	eu h

Numele fiecărui poliedru provine de la numele grecesc pentru numărul fețelor sale și cuvântul „față”.

Istorie

Poliedrele regulate sunt cunoscute din cele mai vechi timpuri. Modelele lor ornamentale pot fi găsite pe bile de piatră sculptate din perioada neolitică târzie din Scoția , cu cel puțin 1000 de ani înainte de Platon . În zarurile cu care se jucau oamenii în zorii civilizației, formele poliedrelor regulate sunt deja ghicite.

În mare măsură, poliedrele regulate au fost studiate de grecii antici . Unele surse (cum ar fi Proclus Diadochus ) îi atribuie lui Pitagora onoarea descoperirii lor . Alții susțin că numai tetraedrul, cubul și dodecaedrul îi erau familiari, iar onoarea de a descoperi octaedrul și icosaedrul îi aparține lui Theaetetus din Atena , un contemporan cu Platon. În orice caz, Theaetetus a oferit o descriere matematică a tuturor celor cinci poliedre regulate și prima dovadă cunoscută că există exact cinci.

Poliedrele regulate sunt caracteristice filozofiei lui Platon , după care au primit denumirea de „solide platonice”. Platon a scris despre ele în tratatul său Timeu (360 î.Hr.), unde a comparat fiecare dintre cele patru elemente (pământ, aer, apă și foc) cu un anumit poliedru regulat. Tetraedrul corespunde focului, hexaedrul pământului, octaedrul aerului, iar icosaedrul apei. Aceste comparații au fost explicate prin următoarele asocieri: căldura focului se simte clar și tăios, ca niște piramide tetraedrice; cele mai mici componente ale aerului octaedrului sunt atât de netede încât cu greu pot fi simțite; apa se revarsa cand este luata in mana, de parca ar fi facuta din multe bile mici, de care icosaedrii sunt cel mai aproape; spre deosebire de apă, cuburile hexaedre, complet spre deosebire de minge, alcătuiesc pământul, ceea ce face ca pământul să se prăbușească în mâini, spre deosebire de curgerea lină a apei. În ceea ce privește cel de-al cincilea element, dodecaedrul, Platon a făcut o remarcă vagă: „... Dumnezeu l-a definit pentru Univers și a recurs la el ca model”.

Aristotel a adăugat un al cincilea element, eterul , și a postulat că cerurile sunt făcute din acest element, dar nu l-a echivalat cu cel de-al cincilea element al lui Platon.

Euclid a oferit o descriere matematică completă a poliedrelor regulate în ultima carte a XIII-a a Începuturilor . Propozițiile 13-17 ale acestei cărți descriu structura tetraedrului, octaedrului, cubului, icosaedrului și dodecaedrului în această ordine. Pentru fiecare poliedru, Euclid a găsit raportul dintre diametrul sferei circumscrise și lungimea muchiei. Propunerea 18 afirmă că nu există alte poliedre regulate. Andreas Speiser, un matematician la Universitatea din Basel, a susținut că construirea a cinci poliedre regulate este scopul principal al sistemului deductiv al geometriei, așa cum a fost creat de greci și canonizat în Elementele lui Euclid [2] . O mare parte din informațiile din Cartea XIII a Elementelor ar fi putut proveni din scrierile lui Theaetetus.

În secolul al XVI-lea, astronomul german Johannes Kepler a încercat să găsească o legătură între cele cinci planete ale sistemului solar cunoscute în acel moment (cu excepția Pământului) și poliedrele obișnuite. În Secretul lumii , publicat în 1596, Kepler a prezentat modelul său al sistemului solar. În ea, cinci poliedre regulate au fost plasate una în cealaltă și separate printr-o serie de sfere înscrise și circumscrise. Fiecare dintre cele șase sfere corespundea uneia dintre planete ( Mercur , Venus , Pământ , Marte , Jupiter și Saturn ). Poliedrele au fost aranjate în următoarea ordine (de la interior la exterior): octaedru, urmat de icosaedru, dodecaedru, tetraedru și, în final, cub. Astfel, structura sistemului solar și relația dintre distanțe dintre planete au fost determinate de poliedre regulate. Mai târziu, ideea originală a lui Kepler a trebuit să fie abandonată, dar rezultatul căutării sale a fost descoperirea a două legi ale dinamicii orbitale - legile lui Kepler - care au schimbat cursul fizicii și astronomiei, precum și poliedre stelate regulate ( corpii Kepler-Poinsot ) .

Proprietăți combinatorii

Euler a derivat o formulă care raportează numărul de vârfuri (B), fețe (G) și muchii (P) ale oricărui poliedru convex printr-o relație simplă : C + D = P + 2.

Raportul dintre numărul de vârfuri ale unui poliedru obișnuit și numărul de muchii ale uneia dintre fețele sale este egal cu raportul dintre numărul de fețe ale aceluiași poliedru și numărul de muchii care ies dintr-unul dintre vârfurile sale. Pentru tetraedru acest raport este de 4:3, pentru hexaedru și octaedru este de 2:1, iar pentru dodecaedru și icosaedru este de 4:1.

Un poliedru regulat poate fi descris combinatoriu prin simbolul Schläfli { p , q }, unde: p este numărul de muchii din fiecare față; q este numărul de muchii care converg la fiecare vârf.

Simbolurile Schläfli pentru poliedre regulate sunt date în următorul tabel:

Poliedru	Vârfurile	coaste	Fațete	Simbolul Schläfli
tetraedru	patru	6	patru	{3, 3}
hexaedru (cub)	opt	12	6	{4, 3}
octaedru	6	12	opt	{3, 4}
dodecaedru	douăzeci	treizeci	12	{5, 3}
icosaedru	12	treizeci	douăzeci	{3, 5}

O altă caracteristică combinatorică a unui poliedru, care poate fi exprimată în termeni de numere p și q , este numărul total de vârfuri (B), muchii (P) și fețe (G). Deoarece orice muchie conectează două vârfuri și se află între două fețe, sunt valabile următoarele relații: $p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.$

Din aceste relații și formula lui Euler, putem obține următoarele expresii pentru V, P și G:

{\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2))),\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-( p-2)(q-2))),\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2))).

Proprietăți geometrice

Unghiuri

Fiecare poliedru regulat are asociate anumite unghiuri , care îi caracterizează proprietățile. Unghiul diedric dintre fețele adiacente ale unui poliedru regulat {p, q} este dat de:

$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p))).$

Uneori este mai convenabil să folosiți expresia prin tangentă :

\operatorname {tg}\,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h))),

unde iau valorile 4, 6, 6, 10 și 10 pentru tetraedru, cub, octaedru, dodecaedru și, respectiv, icosaedru. $h$

Defectul de colț la vârful unui poliedru este diferența dintre 2π și suma unghiurilor dintre muchiile fiecărei fețe la acel vârf. Defect la orice vârf al unui poliedru regulat: $\delta$

\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).

Conform teoremei lui Descartes , este egal cu împărțit la numărul de vârfuri (adică defectul total pentru toate vârfurile este egal cu ). $4\pi$ $4\pi$

Analogul tridimensional al unui unghi plan este unghiul solid . Unghiul solid Ω la vârful unui poliedr regulat este exprimat în termeni de unghi diedru dintre fețele adiacente ale acestui poliedr prin formula:

\Omega =q\theta -(q-2)\pi .

Unghiul solid subtins de o față a unui poliedru regulat, cu vârful său în centrul acestui poliedru, este egal cu unghiul solid al sferei întregi ( steradian) împărțit la numărul de fețe. Este, de asemenea, egal cu defectul unghiular al poliedrului dual cu cel dat. $4\pi$

În tabelul următor sunt prezentate diverse unghiuri ale poliedrelor regulate. Valorile numerice ale unghiurilor solide sunt date în steradiani . Constanta este raportul de aur . $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Poliedru	Unghiul diedric θ	$\operatorname {tg}{\frac {\theta }{2}}$	Unghi plat între margini la vârf	Defect de colț (δ)	Unghi solid al vârfului (Ω)		Unghi solid scăzut de o față
tetraedru	70,53°	${1 \over {{\sqrt 2}}}$	60°	$\pi$	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)$	$\aproximativ 0,551286$	$\pi$
cub	90°	unu	90°	${\pi \over 2}$	${\frac {\pi }{2))$	$\aproximativ 1,57080$	${2\pi \over 3}$
octaedru	109,47°	√2	60°, 90°	${{2\pi } \over 3}$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)$	$\aproximativ 1,35935$	${\pi \over 2}$
dodecaedru	116,57°	$\varphi$	108°	${\pi \over 5}$	$\pi -\operatorname {arctg}\left({\frac {2}{11}}\right)$	$\aproximativ 2,96174$	${\pi \over 3}$
icosaedru	138,19°	$\varphi ^{2}$	60°, 108°	${\pi \over 3}$	$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)$	$\aproximativ 2,63455$	${\pi \over 5}$

Raze, suprafețe și volume

Cu fiecare poliedru regulat sunt asociate trei sfere concentrice:

Sfera circumscrisă care trece prin vârfurile poliedrului;
Sfera mediană atingând fiecare dintre marginile sale în mijloc;
O sferă înscrisă tangentă la fiecare dintre fețele sale din centrul ei.

Razele sferelor circumscrise ( ) și înscrise ( ) sunt date prin formulele: $R$ $r$

R={a \over 2}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q))\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2))

r={a \over 2}\cdot \operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2)),

unde θ este unghiul diedric dintre fețele adiacente ale poliedrului. Raza sferei din mijloc este dată de formula:

\rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h))),

unde h este valoarea descrisă mai sus la determinarea unghiurilor diedrice (h = 4, 6, 6, 10 sau 10). Raporturile dintre razele circumscrise și razele înscrise sunt simetrice față de p și q:

{R \over r}=\operatorname {tg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q}}.

Aria suprafeței S a unui poliedru regulat {p, q} se calculează ca aria unui p-gon regulat înmulțită cu numărul de fețe Г:

S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p)).

Volumul unui poliedru regulat se calculează ca volumul unei piramide regulate înmulțit cu numărul de fețe , a cărui bază este un p-gon regulat, iar înălțimea este raza sferei înscrise r:

V={1\peste 3}rS.

Tabelul de mai jos conține o listă cu diferite raze, suprafețe și volume ale poliedrelor regulate. Valoarea lungimii marginii a din tabel este egală cu 2.

Poliedru ( a = 2)	Raza sferei înscrise ( r )	Raza medie a sferei (ρ)	Raza sferei circumscrise ( R )	Suprafața ( S )	Volumul ( V )
tetraedru	${1 \over {{\sqrt 6}}}$	${1 \over {{\sqrt 2}}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4{\sqrt 3}$	${\frac {2{\sqrt 2}}{3}}$
cub	$unu$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24$	$opt$
octaedru	${\sqrt {2 \over 3}}$	$unu$	${\sqrt {2}}$	$8{\sqrt 3}$	${\frac {8{\sqrt 2}}{3}}$
dodecaedru	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt 3}\,\varphi$	$60{\frac {\varphi }{\xi }}$	$20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}$
icosaedru	${\frac {\varphi ^{2}}{{\sqrt 3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt 3}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}$

Constantele φ și ξ sunt date de expresii

\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5} ={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi } }.

Dintre poliedrele regulate, atât dodecaedrul cât și icosaedrul reprezintă cea mai bună aproximare a unei sfere. Icosaedrul are cel mai mare număr de fețe, cel mai mare unghi diedru și este apăsat cel mai strâns pe sfera sa înscrisă. Pe de altă parte, dodecaedrul are cel mai mic defect unghiular, cel mai mare unghi solid la vârf și își umple sfera circumscrisă cât mai mult posibil.

În dimensiuni mai mari

Există șase poliedre regulate (poliedre) în spațiul cu patru dimensiuni :

Cinci celule	tesseract	Celulă hexazecimală	douăzeci şi patru de celule	120 de celule	Șase sute de celule

Există trei poliedre regulate ( politopi ) în fiecare dintre spațiile de dimensiuni superioare : $n>4$

simplex regulat n-dimensional
hipercub n-dimensional
hiperoctaedru n-dimensional

Vezi și

Note

↑ Selivanov D. F. ,. Corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
↑ Hermann Weil. "Simetrie". Traducere din engleză de B. V. Biryukov și Yu. A. Danilov, editată de B. A. Rosenfeld. Editura „Știință”. Moscova. 1968. p. 101

Link -uri

Smirnov E. Yu. Grupuri Coxeter și poliedre regulate // Școala de vară „Matematică modernă”. — Dubna, 2008.
Weisstein, Eric W. Platonic Solids (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Fani ai matematicii/geometriei . (Engleză)
Modele de hârtie de poliedre regulate . (Engleză)
Știință/Geometrie/Solide platonice și arhimediene . (Engleză)
Solide platonice, arhimediene, prisme, solide Kepler-Poinsot și solide Kepler-Poinsot trunchiate . (Engleză)
M. Wenninger . modele de poliedre. - Moscova: Mir, 1974. - 236 p.
Gonchar VV Modele de poliedre . - Moscova: Akim, 1997. - 64 p. — ISBN 5-85399-032-2 .
Gonchar V. V., Gonchar D. R. Modele de poliedre . - Rostov-pe-Don: Phoenix, 2010. - 143 p. — ISBN 978-5-222-17061-8 .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4046302-3

Poliedre

corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte