Tetraedru

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 decembrie 2019; verificările necesită 36 de modificări .

Tetraedru ( greacă veche τετρά-εδρον „ tetraedru ” [1] ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες „ patru” + ἕτορες „patru” + ἕ , baza triunghiului), care sunt triunghiul simplu .

Un tetraedru este o piramidă triunghiulară atunci când oricare dintre fețe este luată ca bază. Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii. Un tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale se numește regulat. Tetraedrul regulat este unul dintre cele cinci poliedre regulate .

Proprietăți

Planele paralele care trec prin trei perechi de muchii care se încrucișează ale tetraedrului determină paralelipipedul descris în apropierea tetraedrului .

Planul care trece prin punctele mijlocii a două muchii care se încrucișează ale tetraedrului îl împarte în două părți egale ca volum [3] :216-217 .

Bimedianele unui tetraedru se intersectează în același punct cu medianele unui tetraedru.
- Bimedianii unui tetraedru sunt segmente care leagă punctele medii ale muchiilor sale de încrucișare (care nu au vârfuri comune).

Centrele sferelor care trec prin trei vârfuri și un incentru se află pe o sferă al cărei centru coincide cu centrul sferei circumscrise.
- Această afirmație este valabilă și pentru centrele externe.

Planurile care trec prin mijlocul unei muchii și sunt perpendiculare pe muchia opusă se intersectează într-un punct (ortocentru).
- Ortocentrul într-un simplex este definit ca intersecția hiperplanelor care sunt perpendiculare pe o muchie și trec prin centrul de greutate al elementului opus.

Centrul sferei (F), care trece prin centrele de greutate ale fețelor tetraedrului, centrul de greutate al tetraedrului (M), centrul sferei circumscrise (R) și ortocentrul (H) se află pe aceeași linie dreaptă. In acelasi timp . $RM=MH=3\cdot MF$

Centrul sferei (S) înscris în tetraedrul complementar, centrul sferei (N) înscris în tetraedrul anticomplementar, centrul de greutate al tetraedrului (M) și centrul sferei înscrise (I) se află pe aceeași linie dreaptă.

Punctul G 1 împarte segmentul care leagă ortocentrul (H) și vârful 1 în raport de 1:2. Să scăpăm perpendiculara din punctul G 1 la faţa vârfului opus 1. Perpendiculara intersectează faţa în punctul W 1 . Punctele G 1 și W 1 se află pe o sferă (sfera Feuerbach), care trece prin centrele de greutate ale fețelor tetraedrului.

O secțiune a unui plan care trece prin punctele de mijloc ale celor patru margini ale unui tetraedru este un paralelogram.

Tipuri de tetraedre

Tetraedru izoedric

Toate fețele sale sunt triunghiuri egale între ele. Dezvoltarea unui tetraedru izoedric este un triunghi împărțit de trei drepte mediane în patru triunghiuri egale . Într-un tetraedru izoedric, bazele înălțimilor, punctele medii ale înălțimilor și punctele de intersecție ale înălțimilor fețelor se află pe suprafața unei sfere (sfera a 12 puncte) (un analog al cercului Euler pentru un triunghi ).

Proprietățile unui tetraedru izoedric:

Toate fețele sale sunt egale (congruente).
Marginile de încrucișare sunt egale în perechi.
Unghiurile triedrice sunt egale.
Unghiurile diedrice opuse sunt egale.
Două unghiuri plane bazate pe aceeași muchie sunt egale.
Suma unghiurilor plane la fiecare vârf este de 180°.
Dezvoltarea unui tetraedru este un triunghi sau un paralelogram .
Paralepipedul descris este dreptunghiular.
Tetraedrul are trei axe de simetrie.
Perpendicularele comune ale muchiilor oblice sunt perpendiculare perechi.
Liniile mediane sunt perpendiculare pe perechi.
Perimetrele fețelor sunt egale.
Suprafețele fețelor sunt egale.
Înălțimile tetraedrului sunt egale.
Segmentele care leagă vârfurile cu centrele de greutate ale fețelor opuse sunt egale.
Razele cercurilor descrise în apropierea fețelor sunt egale.
Centrul de greutate al tetraedrului coincide cu centrul sferei circumscrise.
Centrul de greutate coincide cu centrul sferei înscrise.
Centrul sferei circumscrise coincide cu centrul sferei înscrise.
Sfera înscrisă atinge fețele din centrele cercurilor circumscrise acestor fețe.
Suma normalelor unității exterioare (vectori unitari perpendiculari pe fețe) este zero.
Suma tuturor unghiurilor diedrice este zero.
Centrii sferelor înscrise se află pe sfera circumscrisă.

Tetraedru ortocentric

Toate înălțimile scăzute de la vârfuri la fețele opuse se intersectează într-un punct.

Înălțimile tetraedrului se intersectează într-un punct.
Bazele înălțimilor tetraedrului sunt ortocentrii fețelor.
Fiecare două margini opuse ale unui tetraedru sunt perpendiculare.
Sumele pătratelor muchiilor opuse ale unui tetraedru sunt egale.
Segmentele care leagă punctele medii ale muchiilor opuse ale tetraedrului sunt egale.
Produsele cosinusurilor unghiurilor diedrice opuse sunt egale.
Suma pătratelor ariilor fețelor este de patru ori mai mică decât suma pătratelor produselor muchiilor opuse.
Un tetraedru cerc ortocentric are 9 puncte ( cercuri Euler ) din fiecare față aparținând aceleiași sfere (sfera cu 24 de puncte).
Într -un tetraedru ortocentric , centrele de greutate și punctele de intersecție ale înălțimilor fețelor, precum și punctele care împart segmentele fiecărei înălțimi a tetraedrului de la vârf la punctul de intersecție al înălțimilor într-un raport de 2. :1, întindeți pe aceeași sferă (sfera de 12 puncte).

Tetraedru dreptunghiular

Toate muchiile adiacente unuia dintre vârfuri sunt perpendiculare între ele. Un tetraedru dreptunghiular se obține prin tăierea unui tetraedru cu un plan dintr-un paralelipiped dreptunghiular .

Tetraedru schelet

Este un tetraedru care îndeplinește oricare dintre următoarele condiții [4] :

există o sferă care atinge toate marginile,
sumele lungimilor marginilor de încrucișare sunt egale,
sumele unghiurilor diedrice la muchiile opuse sunt egale,
cercuri înscrise în fețe se ating în perechi,
toate patrulaterele rezultate din dezvoltarea unui tetraedru sunt circumscrise,
perpendicularele ridicate pe feţele din centrele cercurilor înscrise în ele se intersectează într-un punct.

Un tetraedru pe măsură

Acest tip are înălțimi egale .

Proprietățile unui tetraedru proporțional:

Bi-înălțimile sunt egale. Biînălțimile unui tetraedru sunt perpendiculare comune pe două dintre muchiile sale care se intersectează (muchii care nu au vârfuri comune).
Proiecția unui tetraedru pe un plan perpendicular pe orice bimedian este un romb . Bimedianii unui tetraedru sunt segmente care leagă punctele medii ale muchiilor sale de încrucișare (care nu au vârfuri comune).
Fețele paralelipipedului circumscris sunt egale.
Următoarele relații sunt valabile: , unde și , și , și sunt lungimile muchiilor opuse. $4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2} )^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1 }}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2 }-(b_{1})^{2})^{2}$ $A$ $a_{1}$ $b$ $b_{1}$ $c$ $c_{1}$
Pentru fiecare pereche de muchii opuse ale tetraedrului, planurile trasate prin unul dintre ele și punctul de mijloc al celui de-al doilea sunt perpendiculare.
O sferă poate fi înscrisă în paralelipipedul descris al unui tetraedru proporțional.

Tetraedru incentric

La acest tip, segmentele care leagă vârfurile tetraedrului cu centrele cercurilor înscrise în fețe opuse se intersectează într-un punct. Proprietățile unui tetraedru incentric:

Segmentele care leagă centrele de greutate ale fețelor tetraedrului cu vârfuri opuse (mediane tetraedrice) se intersectează întotdeauna într-un punct. Acest punct este centrul de greutate al tetraedrului.
Observație . Dacă în ultima condiție înlocuim centrele de greutate ale fețelor cu ortocentrii fețelor, atunci se transformă într-o nouă definiție a tetraedrului ortocentric . Dacă le înlocuim cu centrele cercurilor înscrise în fețe, uneori numite incentre , obținem definiția unei noi clase de tetraedre- incentrice .
Segmentele care leagă vârfurile tetraedrului cu centrele cercurilor înscrise în fețe opuse se intersectează într-un punct.
Bisectoarele unghiurilor a două fețe desenate la o muchie comună a acestor fețe au o bază comună.
Produsele lungimilor muchiilor opuse sunt egale.
Triunghiul format din al doilea punct de intersecție a trei muchii care ies dintr-un vârf cu orice sferă care trece prin cele trei capete ale acestor muchii este echilateral.

Tetraedru regulat

Acesta este un tetraedru izoedric, în care toate fețele sunt triunghiuri regulate . Este unul dintre cele cinci solide platonice .

Proprietățile unui tetraedru regulat:

toate marginile unui tetraedru sunt egale,
Toate fețele unui tetraedru sunt egale
perimetrele și ariile tuturor fețelor sunt egale.
Un tetraedru obișnuit este simultan ortocentric, wireframe, izoedric, incentric și proporțional.
Un tetraedru este regulat dacă aparține oricăror două tipuri de tetraedre enumerate: ortocentric, wireframe, incentric, proporțional, izoedric .
Un tetraedru este regulat dacă este izoedric și aparține unuia dintre următoarele tipuri de tetraedre: ortocentric, wireframe, incentric, proporțional .
Un octaedru poate fi înscris într-un tetraedru obișnuit, în plus, patru (din opt) fețe ale octaedrului vor fi aliniate cu patru fețe ale tetraedrului, toate cele șase vârfuri ale octaedrului vor fi aliniate cu centrele a șase muchii ale tetraedrului. .
Un tetraedru obișnuit este format dintr-un octaedru înscris (în centru) și patru tetraedre (de-a lungul vârfurilor), iar marginile acestor tetraedre și octaedrul sunt jumătate din dimensiunea muchiilor tetraedrului obișnuit.
Un tetraedru obișnuit poate fi înscris într-un cub în două moduri, în plus, cele patru vârfuri ale tetraedrului vor fi aliniate cu cele patru vârfuri ale cubului.
Un tetraedru obișnuit poate fi înscris într-un dodecaedru, în plus, patru vârfuri ale tetraedrului vor fi aliniate cu patru vârfuri ale dodecaedrului.
Marginile încrucișate ale unui tetraedru obișnuit sunt reciproc perpendiculare.

Volumul unui tetraedru

Volumul unui tetraedru (ținând cont de semn), ale cărui vârfuri sunt în puncte, este egal cu $\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),$

V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{ 2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}- z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},

V={\frac {1}{3}}\SH,

unde este aria oricărei fețe și este înălțimea căzută pe această față. $S$ $H$

Volumul unui tetraedru în termeni de lungimi de muchii este exprimat folosind determinantul Cayley-Menger :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{ 2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14} ^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.

Această formulă are un analog plat pentru aria unui triunghi sub forma unei variante a formulei lui Heron printr-un determinant similar.
Volumul tetraedrului prin lungimile a două muchii opuse a și b , ca linii de încrucișare, care se află la o distanță h una de cealaltă și formează un unghi între ele , se află prin formula: $\phi$

$V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .$

Volumul unui tetraedru prin lungimile celor trei muchii ale sale a , b și c , ieșind dintr-un vârf și formând perechi, respectiv, unghiuri plate , se găsește prin formula [5] $\alpha ,\beta ,\gamma$

V={\frac {1}{6}}\abc{\sqrt {D)),

Unde

D = | unu cos ⁡ γ cos ⁡ β cos ⁡ γ unu cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α unu | . {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}} .}

D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}} .

Un analog pentru planul ultimei formule este formula pentru aria unui triunghi în ceea ce privește lungimile celor două laturi a și b , care iese dintr-un vârf și formează un unghi între ele : $\gamma$

S={\frac {1}{2}}\ab{\sqrt {D}},

Unde $D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.$

Notă

Există un analog al formulei lui Heron pentru volumul unui tetraedru [6]

Formule pentru tetraedrul în coordonate carteziene în spațiu

Denumiri:

$\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})$ sunt coordonatele vârfurilor tetraedrului.

Volumul tetraedrului (ținând cont de semn):

$V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}$ .

Coordonatele centrului de greutate (intersecția medianelor): $\mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})$

$x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};$ $y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}});$ $z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.$

Coordonatele centrului sferei înscrise: $\mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})$

$x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},$

unde este aria feței opusă primului vârf, este aria feței opusă celui de-al doilea vârf și așa mai departe. $S_{1}$ $S_{2)$

În consecință, ecuația sferei înscrise:

$(x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_ {3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\ frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_ {3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2} ,$

Ecuația sferei înscrise vizavi de primul vârf:

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+ S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Ecuația unei sfere descrise opusă primului și celui de-al doilea vârf (numărul de astfel de sfere poate varia de la zero la trei):

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}- S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Ecuația sferei circumscrise:

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1 }^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2} &y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1 \\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.$

Formule tetraedrice în coordonate baricentrice

Denumiri:

$\mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1 }} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,$ sunt coordonate baricentrice.

Volumul tetraedrului (ținând cont de semn): Fie coordonatele vârfurilor tetraedrului. $\mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_ {2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J } _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).$

Apoi

$V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_ {1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3} +t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',$ unde este volumul tetraedrului de bază. $V'$

Coordonatele centrului de greutate (intersecția medianelor): $\mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).$

Coordonatele centrului sferei înscrise: $\mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).$

Coordonatele centrului sferei descrise:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} și\mathbf {J_{2}} și\mathbf {J_{3}} și\mathbf { J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\ alfa _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{ 2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4, 2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.$

Distanța dintre puncte : $\mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J} _{B}(B_{1},B_ {2},B_{3},B_{4})$

Lasă și așa mai departe. $C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{ B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3 }+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}$

Atunci distanța dintre două puncte este: $d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{ 2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_ {4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).$

Comparația formulelor triunghiulare și tetraedrice

Zona (Volum)
$S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2 }\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}$	$V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1} ^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{ 4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\ \1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}} }$ , unde este distanța dintre vârfurile 1 și 2 $\alpha _{1,2}$
$S={\frac {1}{2}}ah_{a}$	$V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}$
$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$	$V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2} )$ , unde este unghiul dintre fețele 1 și 2 și sunt zonele fețelor opuse vârfurilor 1 și 2 $\phi _{1,2}$ $S_{1)$ $S_{2)$
Lungimea (aria) bisectoarei
$l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$	$L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+ S_{2}}}$
Lungimea mediană
$m_{c}={\frac {{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2)))){2))$	$m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4 }^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{ 3}}$
Raza unui cerc (sferă) înscris
$r={\frac {2S}{a+b+c}}$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4))))$
Raza cercului circumscris (sferei)
$R={\frac {abc}{4S}}$	$R={\frac {S_{T}}{6V}}$ , unde este aria unui triunghi cu laturile $S_{T}$ $\alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2 ,3}$
Teorema cosinusului
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	$\cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}$ , unde este unghiul dintre fețele 1 și 2 și sunt zonele fețelor opuse vârfurilor 1 și 2, este complementul algebric al elementului de matrice $\phi _{1,2}$ $S_{1)$ $S_{2)$ $A_{1,2}$ $\alpha _{2,1}^{2)$ ${\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2 }\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3 ,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\ alfa _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}$
Teorema sinusului
${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$	${\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}} {\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}$ , unde sunt ariile fețelor opuse vârfurilor 1, 2, 3, 4, unde sunt unghiurile diedrice ale vârfului. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $\Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos( B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}$ $A,B,C$
Teorema sumei unghiurilor unui triunghi (raportul dintre unghiurile diedrice ale unui tetraedru)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	${\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \ stânga(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right) &-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3, 2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\ phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0$ , unde este unghiul dintre fețele 1 și 2 $\phi _{1,2}$
Distanța dintre centrele cercurilor (sferelor) înscrise și descrise
$R^{2}-d^{2}=2Rr$	$R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{ 2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}$ , unde sunt zonele fețelor opuse vârfurilor 1, 2, 3, 4. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ O altă expresie a expresiei: unde este distanța dintre centrul sferei circumscrise și centrul sferei, trecând prin trei vârfuri și un incentru. $R^{2}-d^{2}=2rT,$ $T$

Tetraedrul în spații non-euclidiene

Volumul tetraedrelor non-euclidiene

Există multe formule pentru găsirea volumului tetraedrelor non-euclidiene. De exemplu, formula Derevnin-Mednykh [7] pentru tetraedrul hiperbolic și formula J. Murakami [8] pentru tetraedrul sferic. Volumul unui tetraedru în spațiul sferic și în spațiul Lobaciovsky, de regulă, nu este exprimat prin funcții elementare .

Relația dintre unghiurile diedrice ale unui tetraedru

$\operatorname {det} \Psi >0$ pentru un tetraedru sferic.

$\operatorname {det} \Psi <0$ pentru un tetraedru hiperbolic.

Unde este matricea Gram pentru unghiurile diedrice ale tetraedrului sferic și hiperbolic. $\Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\ -\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&- \cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\ cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$A_{{i,j}}$ este unghiul dintre fețele opuse i și j vârfului.

Teorema cosinusului

$\cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j)}{\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j)}} }$ — pentru tetraedrul sferic și hiperbolic.

$\cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j)} }}$ pentru un tetraedru sferic.

$\operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j, j}}}}$ pentru un tetraedru hiperbolic.

Unde este matricea Gram pentru marginile reduse ale tetraedrului sferic. $\Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1} )\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{ 3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$\Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} ( \alpha _{4,2})\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\ alfa _{4,3})\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$ este matricea Gram pentru muchiile reduse ale tetraedrului hiperbolic.

$\alpha _{i,j)$ — distanța redusă între vârfurile i și j.

$\Psi _{i,j)$ este complementul algebric al matricei . $\psi$

Teorema sinusului

${\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2} ))={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4} }}$ — pentru tetraedrul sferic și hiperbolic.

Raza sferei circumscrise

${\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\ \\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3 ,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)))\\\end{vmatrix} }=0$ pentru un tetraedru sferic.

O altă modalitate de a scrie expresia: , unde sunt normalele fețelor tetraedrului. ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {n_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {n_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {n_{4))}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}$

Sau cu coordonatele vârfurilor tetraedrului: . ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}} }&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2 }&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{ vmatrix}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$

${\begin{vmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}(R)))\\\end{vmatrix}}=0$ - pentru tetraedrul hiperbolic

Raza unei sfere înscrise

${\frac {1}{\sin ^{2}(r)))={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3, 3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\cos(\alpha _{1,2})+2{ \sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _ {4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{ 2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _ {3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}$ pentru un tetraedru sferic.

Un alt mod de a scrie expresia este , unde sunt vectorii cu raza unitară a vârfurilor tetraedrului. ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {r_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {r_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {r_{4))}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}$

${\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)))=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\operatorname {ch} (\alpha _{1 ,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\operatorname {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\ Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{ 3,3))}\operatorname {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\operatorname {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4))}\operatorname {ch} (\alpha _{3,4})} {\operatorname {det} \Phi }}$ pentru un tetraedru hiperbolic.

Distanța dintre centrele sferelor înscrise și circumscrise

${\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)))={\frac ({\sqrt {\Phi _{1,1)}}+{\sqrt { \Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$ pentru un tetraedru sferic.

Formule tetraedrice în coordonate baricentrice

Coordonatele centrului sferei înscrise:

$\mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1)}}, {\sqrt {\Phi _{2,2)}}, {\sqrt {\Phi _ {3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).$ pentru un tetraedru sferic.

Coordonatele centrului sferei descrise:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} și\mathbf {J_{2}} și\mathbf {J_{3}} și\mathbf { J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\ cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1 })&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _ {4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.$ pentru un tetraedru sferic.

Tetraedre în microcosmos

Un tetraedru regulat se formează în timpul hibridizării sp 3 a orbitalilor atomici (axele lor sunt îndreptate către vârfurile unui tetraedru regulat, iar nucleul atomului central este situat în centrul sferei descrise a tetraedrului regulat), prin urmare, multe moleculele în care are loc o astfel de hibridizare a atomului central au forma acestui poliedru.
Moleculă de CH4 metan .
Ion de amoniu NH4 + .
Ion sulfat SO 4 2- , ion fosfat PO 4 3- , ion perclorat ClO 4 - și mulți alți ioni.
Diamantul C este un tetraedru cu o muchie egală cu 2,5220 angstromi .
Fluorit CaF 2 , un tetraedru cu o muchie egală cu 3,8626 angstromi .
Sphalerite , ZnS, un tetraedru cu o muchie egală cu 3,823 angstromi .
Oxid de zinc , ZnO.
Ioni complexi [ BF4 ] - , [ZnCI4 ] 2- , [Hg(CN) 4 ] 2- , [Zn(NH3 ) 4 ] 2+ .
Silicați , ale căror structuri se bazează pe tetraedrul siliciu-oxigen [SiO 4 ] 4- .

Tetraedre în natură

Unele fructe, fiind patru dintre ele pe de o parte, sunt situate la vârfurile unui tetraedru aproape de regulat. Acest design se datorează faptului că centrele a patru bile identice care se ating unele de altele sunt situate la vârfurile unui tetraedru obișnuit. Prin urmare, fructele sub formă de bile formează un aranjament reciproc similar. De exemplu, nucile pot fi aranjate astfel .

Tetraedre în tehnologie

Tetraedrul formează o structură rigidă, determinată static. Un tetraedru format din tije este adesea folosit ca bază pentru structurile portante spațiale ale traveelor clădirilor, tavanelor, grinzilor, fermelor.Tijele suferă doar sarcini longitudinale.
Tetraedrul dreptunghiular este folosit în optică. Dacă fețele cu unghi drept sunt acoperite cu o compoziție reflectorizantă sau întregul tetraedru este realizat dintr-un material cu refracție puternică a luminii astfel încât să aibă loc efectul de reflexie internă totală, atunci lumina îndreptată către fața opusă vârfului cu unghi drepte va sa fie reflectata in aceeasi directie din care a venit . Această proprietate este folosită pentru a crea reflectoare de colț , reflectoare .
Graficul declanșator cuaternar este un tetraedru [9] .

Tetraedre în filozofie

„Platon a spus că cele mai mici particule de foc sunt tetraedre” [10] .

societate laică. Una dintre doamne își spune visul:

- Domnilor, azi am văzut un vis groaznic! Parcă îmi bag degetul înăuntru

gura - și nu există un singur dinte!

Rjevski:

- Doamnă - probabil ați pus degetul în locul greșit ( tetraedru ) ...

Vezi și

Note

↑ Dicționarul antic greco-rus al lui Dvoretsky „τετρά-εδρον” (link inaccesibil) . Preluat la 20 februarie 2020. Arhivat din original la 28 decembrie 2014. (nedefinit)
↑ Selivanov D. F. ,. Corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme . - M . : Şcoala superioară , 1985. - 232 p. Arhivat pe 10 ianuarie 2014 la Wayback Machine
↑ V. E. MATIZEN Tetraedre izoedrice și cadru „Quantum” Nr. 7, 1983
↑ Modenov P.S. Probleme de geometrie. - M . : Nauka, 1979. - S. 16.
↑ Markelov S. Formula pentru volumul unui tetraedru // Educație matematică. Problema. 6. 2002. P. 132
↑ Sursa . Preluat la 31 martie 2018. Arhivat din original la 30 august 2017. (nedefinit)
↑ Sursa . Preluat la 31 martie 2018. Arhivat din original la 31 martie 2018. (nedefinit)
↑ http://knol.google.com/k/trigger#view Arhivat 23 noiembrie 2010 la Wayback Machine Trigger
↑ Werner Heisenberg. La originile teoriei cuantice. M. 2004 p.107

Literatură

Matizen V. E., Dubrovsky. Din geometria tetraedrului „Quantum” , Nr. 9, 1988, p.66.
Zaslavsky A. A. Geometria comparată a unui triunghi și a unui tetraedru // Educație matematică, ser. 3 (2004), nr. 8, p. 78-92.
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. Volumul 3. Triunghiuri și tetraedre.2009

Poliedre

corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte