Placare (geometrie)

Parchet sau gresie - împărțirea unui plan în poligoane sau spațiu în poliedre fără goluri și straturi.

Pe lângă parchetele în plan euclidian , în matematică, „parchetele” sunt considerate pe sfera , planul hiperbolic , în spațiu tridimensional și multidimensional.

Terminologie

Gresie, mozaicuri, parchete, compartimentari

Parchetele sunt altfel numite gresie , mozaicuri ( teselare engleză , tiling ), pereți despărțitori din plan ( despărțitor englezesc ), parchete . Placile de spațiu tridimensional și spațiile de dimensiuni mai mari sunt adesea numite faguri .   

La pagina 16 din Grünbaum și Shepard lui Tilings and Patterns (1987) 2] este următoarea notă:

În literatura de matematică, cuvintele teselație , pavaj , mozaic și parchet sunt folosite interschimbabil sau cu înțelesuri similare. Cuvintele germane pentru mozaic sunt Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung și Zerlegung ; cuvinte franceze - pavage , carrelage si dallage ; Cuvinte rusesti - parchet , compartimentare si faianta .

Text original  (engleză)[ arataascunde] În literatura matematică, cuvintele teselație , pavaj , mozaic și parchet sunt folosite sinonim sau cu sensuri similare. Cuvintele germane pentru gresie sunt Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung și Zerlegung . Cuvintele franceze sunt pavage , carrelage și dallage . Cuvintele rusesti sunt parchet , compartimentare si gresie .

Parchetele cu zone (plăci) de formă arbitrară sunt uneori numite hărți (vezi, de exemplu, teorema patru culori ).

Acoperiri și ambalaje

Dacă unirea mai multor figuri conține o cifră dată Φ , atunci se spune că aceste figuri formează o acoperire a figurii Φ . În acest caz, figurile de acoperire se pot suprapune, dar ele acoperă figura F fără goluri.

Ambalarea este plasarea în interiorul unei figuri date a mai multor figuri care nu au puncte comune, cu excepția, poate, a graniței (adică, fără suprapunere).

O teselație este o împărțire a unei figuri în părți. O placă este atât o acoperire, cât și o ambalare [2] [3] .

Protopiles

Prototilele de parchet ( English  prototiles , de asemenea prototipuri [4] ) sunt plăci (forme) incluse în parchet. Fiecare placă de parchet este congruentă cu unul dintre prototile [5] .

Deci, singurul prototil al unui parchet hexagonal este un hexagon obișnuit; prototilul unui parchet pentagonal sferic obișnuit este un pentagon ; setul de protopile unui parchet rombotrihexagonal este format dintr-un triunghi echilateral, un pătrat și un hexagon .

Un parchet se numește k -hedral dacă mulțimea prototilelor sale ( protoset ) este formată din k plăci [2] [4] .

Placile de parchet sunt numite și fețe , iar laturile plăcilor poligonale se numesc margini , prin analogie cu terminologia pentru poliedre [6] .

Configurațiile vârfurilor și feței

Parchetul rombotrihexagonal este format din trei tipuri de plăci: triunghi echilateral, pătrat și hexagon . Aceste plăci sunt aranjate în jurul fiecărui vârf în următoarea ordine: triunghi, pătrat, hexagon, pătrat. Această ordine se numește configurația blatului parchetului și este scrisă sub forma 3.4.6.4. Dacă două sau mai multe numere din această secvență sunt pe rând, se folosește o notație prescurtată: un parchet triunghiular poate fi desemnat ca 3.3.3.3.3.3 sau ca 3 6 . În acest caz, intrările care diferă doar într-o permutare ciclică a numerelor sau o schimbare în ordinea intrării la opus (de exemplu, 3.3.4.3.4 și 4.3.3.4.3) denotă aceeași configurație de vârf; în același timp, 3.4.4.6 nu este echivalent cu 3.4.6.4 [4] [7] [8] [9] [10] .

În parchetele eterogene pot apărea vârfuri cu configurații diferite.

Configurația unei fețe este succesiunea de grade a vârfurilor acestei fețe atunci când o ocolește într-o direcție. Configurația feței este scrisă ca o secvență de numere între paranteze drepte [2] sau prefixată cu V.

Dacă toate vârfurile unui parchet au aceeași configurație cu notația a 1 .a 2 ....a k , atunci toate fețele parchetului său dual au aceeași configurație cu notația Va 1 .a 2 ....a k . De exemplu, configurațiile de față ale parchetului dublu față de parchetul rombic trihexagonal 3.4.6.4  sunt scrise ca V3.4.6.4.

Tipuri de parchet

În multe cazuri, este acceptată condiția ca fiecare dintre prototile de parchet să fie echivalent cu un disc topologic ; cu alte cuvinte, țigla nu trebuie să fie formată din mai multe părți ( cvasi-poliomino [11] ), să conțină „găuri”, să fie o bandă fără sfârșit etc. [2] [4] .

Parchete plate

Parchete corecte

Parchetele formate din poligoane regulate identice sunt numite parchete obișnuite ( ing.  placari regulate ). Există trei plăci obișnuite ale planului: parchet triunghiular , parchet pătrat și parchet hexagonal [9] [12] [13] .

Parchetele obișnuite se mai numesc și parchete platonice [14] .

Poliformele amplasate pe parchetele obișnuite se numesc poliamande , poliomino , respectiv polihexuri .

Simbolul Schläfli { p , q } este folosit pentru a desemna un parchet de p -gonuri regulate dispuse q în jurul fiecărui vârf . Simbolurile Schläfli ale celor trei piese obișnuite sunt {3,6}, {4,4} și {6,3} [6] .

Parchete semiregulate

Parchetele formate din poligoane regulate de două sau mai multe tipuri, astfel încât pentru oricare două vârfuri ale parchetului să existe o transformare de simetrie (autocoincidență) care transformă una dintre ele în cealaltă, se numesc gresie semiregulate sau parchete arhimediene [ 9] [ 9]. 15 ] [16] [17] .  

Sunt 8 parchete semiregulate [7] [10] [12] [16] [17] . Unul dintre cele opt parchete semiregulate (parchetul trihexagonal cu nas snub ) este chiral , adică nu coincide cu propria imagine în oglindă [4] [7] [16] [17] .

Există două definiții care duc la același set de 8 parchete semiregulate pe plan.

Prima definiție, „locală”, este aceea că configurațiile de vârf ale tuturor nodurilor trebuie să se potrivească. Cu alte cuvinte, secvențele de fețe din jurul oricăror două vârfuri ale parchetului trebuie să fie aceleași: aceleași poligoane trebuie să meargă în aceeași ordine (sau opusă).

A doua definiție, „globală”, presupune ca pentru oricare două vârfuri ale parchetului să existe o transformare de simetrie (autocombinare a parchetului), transpunând unul dintre ele în celălalt.

Grünbaum și Shepard împărtășesc termenii „parchet Archimedean” ( în engleză  Archimedean tiling ) și „ parchet omogen ” ( în engleză  uniform tiling ): primul grup include parchetele corespunzătoare definiției „locale”, iar al doilea – „global”. Deși aceste două mulțimi coincid pe plan euclidian , în alte spații există parchete arhimediene care nu sunt omogene [2] .

În literatura de specialitate, semnificațiile termenilor „parchet arhimedian”, „parchet semiregulat” și „parchet omogen” variază.

Parchete cvasi-regulate

Parchet cvasi-regular (sau poliedru) ( engleză  quasiregular tiling ) - un parchet (sau poliedru) omogen, format din fețe de două tipuri, alternând în jurul fiecărui vârf; cu alte cuvinte, fiecare față este înconjurată de fețe de alt tip [18] [19] [20] .

Există un singur parchet cvasi-regular în plan euclidian — un parchet trihexagonal cu configurație de vârf 3.6.3.6. Pe sferă există două parchete cvasi-regulate ( poliedre sferice ) - cuboctaedrul și icosidodecaedrul .

Pe planul Lobachevsky, există un set infinit de parchete cvasi-regulate de forma în care

Parchete eterogene

Există un număr infinit de parchete neuniforme ( în engleză  non-uniform ), formate din poligoane regulate.

  • Parchete neomogene din poligoane regulate

  • 3 2 .6 2 , 3 6

  • 3 2 .6 2 , 3.6.3.6

  • 3 2 .4.12, 3 6

  • 3.4 2.6 , 3.6.3.6

Parchetele periodice neomogene pot fi clasificate în funcție de numărul de orbite de vârfuri, muchii și fețe. Dacă numărul de orbite de vârf este egal cu n , parchetul se numește n -uniform ( engleză  n-uniform ) sau n -izogonal; dacă numărul de orbite de margine este n - n - izotoxal ( ing.  n -izotoxal ). Exemplele de mai sus sunt patru din douăzeci de parchete omogene [2] [9] [21] .


Parchete neperiodice și seturi aperiodice de gresie

O partiție T se numește periodică dacă printre simetriile lui T există două translații paralele în direcții neparalele. În acest caz, mozaicul poate fi considerat ca fiind alcătuit din repetări ale unui mic fragment, așezat din elemente la nodurile unor rețele. Setul de prototipuri (protoset) P se numește aperiodic dacă se realizează în unele partiții ale planului, dar niciuna dintre aceste partiții nu este periodică [4] .

Primul exemplu de set aperiodic de plăci a fost găsit de Robert Berger în 1966 și a inclus 20.426 de plăci Wang [2] [24] . Placile lui Wang sunt pătrate de aceeași dimensiune cu laturile vopsite; la construirea unui mozaic, este permisă combinarea plăcilor cu fețe cu o singură culoare și este interzisă întoarcerea plăcilor.

Ulterior, au fost găsite protoseturi aperiodice cu mai puține plăci. Roger Penrose a descoperit protoseturi aperiodice formate din două plăci [2] [23] [25] .

În 2010, Joshua Socolar și John Taylor au propus un set aperiodic format dintr-o singură plăci , care este un hexagon regulat marcat cu linii colorate și cu restricții suplimentare legate de poziția relativă a plăcilor care nu se ating [ 26] . Există o modificare care nu utilizează astfel de restricții, dar utilizează o placă deconectată, adică o placă care nu este un disc topologic . Existența unei singure plăci conectate fără marcaje și restricții suplimentare, capabilă să acopere planul doar aperiodic, rămâne o problemă deschisă [26] [27] .

Poliedre sferice

Un parchet sferic sau un poliedru sferic este o împărțire a unei sfere în poligoane sferice prin arce de cerc mari [28] .

Fiecare dintre cele 5 solide platonice corespunde unui parchet sferic obișnuit. Formal, fie S o sferă cu centrul O care coincide cu centrul poliedrului P . Razele trase din O care trec prin vârfurile poliedrului P intersectează sfera S în puncte care sunt vârfurile parchetului sferic corespunzător; muchiile poliedrului P corespund arcurilor de cercuri mari pe S .

Pe lângă analogii sferici ai celor cinci „solide platonice”, există două familii de poliedre sferice regulate care nu au echivalente între poliedrele cu fețe plate: osoedre - poliedre cu două vârfuri situate la polii sferei, ale căror fețe sunt digoane congruente și diedre - diedre duale osoedre, ale căror vârfuri sunt la ecuatorul sferei.

Parchete hiperbolice

Axioma paralelismului a lui Euclid (mai precis, una dintre afirmațiile sale echivalente) afirmă:

Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece cel mult o dreaptă care se află cu linia dată în același plan și nu o intersectează.

În geometria Lobachevsky, se acceptă în schimb următoarea axiomă:

Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată trec cel puțin două drepte care se află cu dreapta dată în același plan și nu o intersectează.

Pentru a descrie un plan hiperbolic, se folosește unul dintre modelele existente - modelul Beltrami-Klein , discul conform Poincaré , modelul Poincaré pe semiplan [29] .

Pe plan euclidian sunt doar trei parchete obișnuite și 8 parchete semiregulate. Există un număr infinit de parchete chiar regulate pe planul hiperbolic, inclusiv parchete cu șapte sau mai multe triunghiuri echilaterale în jurul unui vârf, cinci sau mai multe pătrate, patru sau mai multe pentagoane regulate (un parchet cu trei pentagoane în jurul unui vârf este un dodecaedru sferic ). , patru sau mai multe hexagoane regulate și trei sau mai multe poligoane regulate egale cu mai mult de 6 laturi.

Probleme la parchete

Un număr mare de sarcini și puzzle-uri sunt asociate cu împărțirea dreptunghiurilor (sau a altor forme conectate) în plăci dintr-un anumit set dat de prototile. În acest caz, prototilele în sine pot fi conectate combinații de celule ale unui parchet obișnuit .

În special, există o clasă de probleme privind teselarea m  ×  n dreptunghiuri cu plăci de domino în așa fel încât în ​​partiția rezultată să nu existe o linie dreaptă care să intersecteze dreptunghiul de la margine la margine și să nu intersecteze nicio plăci de domino; astfel de dreptunghiuri sunt numite „puternice” [4] [11] [30] .

În alte sarcini, se stabilește o limită suplimentară pentru numărul de plăci de fiecare tip utilizat în placare. În problemele legate de pentominouri , este necesară acoperirea cu 12 figuri a unui subset dat al unui parchet pătrat, format din 60 de celule (dreptunghiuri 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, o tablă de șah cu un tetramino pătrat ). decupat în centru etc.); totuși, fiecare țiglă trebuie folosită exact o dată [11] [30] .

Enumerarea parchetelor

Problema determinării numărului de parchete formate din poligoane convexe de un anumit tip a fost rezolvată doar parțial:

  • Orice triunghi sau patrulater poate acoperi planul [4] [31] [32] .
  • Există 15 pentagoane cunoscute capabile să placă un avion; nu se știe dacă această listă este completă [1] . Problema enumerarii parchetelor pentagonale are o istorie bogata [4] , si poate sa fi fost deja rezolvata [33] [34] .
  • Există 3 tipuri cunoscute de hexagoane capabile să placă un plan [4] [35] .
  • Nu este posibil să plătiți un plan cu poligoane convexe identice cu mai mult sau egal cu șapte laturi [4] [36] .

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Pentagon Tiling  pe site- ul Wolfram MathWorld .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B. Grünbaum , G. C. Shephard. Placuri și modele . — New York: W.H. Freeman & Co., 1987. — ISBN 0-7167-1193-1 .
  3. ↑ Cum se rezolvă sarcinile nestandardizate / Ed. V. O. Bugaenko. - M. : MTSNMO , 2008. - S. 49. - 96 p. - ISBN 978-5-94057-331-9 .
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 David A. Klarner . Grădină de flori matematică.
  5. ↑ Prototil . Enciclopedia de matematică. Preluat la 12 august 2013. Arhivat din original la 2 septembrie 2013.
  6. ↑ 1 2 Coxeter, Introducere în geometrie, 1966, §6, p. 100 - 104.
  7. ↑ 1 2 3 Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Modele matematice  . - Ed. a 2-a - Oxford University Press, 1961. - P. 59-65.
  8. ↑ Paul Burke. Poliedre uniforme . Preluat la 12 august 2013. Arhivat din original la 2 septembrie 2013.
  9. ↑ 1 2 3 4 Chavey, D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings  (indefinite)  // Computers and Mathematics with Applications . - 1989. - T. 17 . - S. 147-165 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
  10. ↑ 1 2 Ce este o teselație? . Forum de matematică. Preluat la 12 august 2013. Arhivat din original la 2 septembrie 2013.
  11. ↑ 1 2 3 Golomb S.V. Polyomino \u003d Polyominoes / Per. din engleza. V. Firsova. cuvânt înainte şi ed. I. Yagloma. — M .: Mir, 1975. — 207 p.
  12. ↑ 1 2 Enciclopedie pentru copii. T. 11. Matematică / Capitolul. ed. M. D. Aksenova; metodă. și resp. ed. V. A. VOLODIN - M . : Avanta + , 2003. - S. 297-300. — 688 p. — ISBN 5-94623-072-7 .
  13. ^ Weisstein , Eric W. Regular Tessellation  pe site- ul Wolfram MathWorld .
  14. ↑ Steven Gillispie. Placile planare platonice . Arhivat din original pe 26 octombrie 2008.
  15. ^ Weisstein, Eric W. Semiregular Tessellation (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .  
  16. ↑ 1 2 3 Steven Dutch. Tigla arhimediană (2 iulie 1999). Arhivat din original pe 20 ianuarie 2013.
  17. ↑ 1 2 3 John Baez. Placi arhimediene și fracții egiptene . Azimut (5 februarie 2012). Preluat la 12 august 2013. Arhivat din original la 2 septembrie 2013.
  18. ↑ M. Wenninger. Polyhedra Models = Polyhedron Models / Traducere din engleză de V. V. Firsov, editată și cu postfață de I. M. Yaglom. — M .: Mir, 1974. — 236 p.
  19. ↑ George Hart. Poliedre cvasi-regulate . Poliedre virtuale: Enciclopedia poliedrelor. Preluat la 19 august 2013. Arhivat din original la 2 septembrie 2013.
  20. ↑ HSM Coxeter. Politopi obișnuiți  . - 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
  21. ↑ Steven Dutch. Gresie uniformă (2 iulie 1999). Arhivat din original pe 20 ianuarie 2013.
  22. ↑ Penrose R. (1979/80), Pentaplexity , Math. Intel. Vol. 2: 32–37 , < http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html > Arhivat 7 iunie 2011 la Wayback Machine (arhivat la) 
  23. ↑ 12 David Austin . Penrose Tiles Talk Across Miles . Coloana caracteristică din AMS. Preluat la 18 august 2013. Arhivat din original la 2 septembrie 2013.
  24. ↑ Burger, R. The Undecidibility of the Domino Problem  //  Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - Vol. 66 . - P. 1-72 .
  25. ↑ R. Penrose (link indisponibil) . Enciclopedia Tilings. Preluat la 13 august 2013. Arhivat din original la 2 septembrie 2013. 
  26. ↑ 1 2 Socolar J. An Aperiodic Hexagonal Tile  (nedefinit) . - Cod . - arXiv : 1003.4279 .
  27. ↑ Tigla aperiodică a lui Socolar și Taylor . Demonul lui Maxwell. Preluat la 18 august 2013. Arhivat din original la 2 septembrie 2013.
  28. ^ Weisstein , Eric W. Spherical Polyhedron  pe site- ul Wolfram MathWorld .
  29. ↑ Coxeter, Introducere în geometrie, 1966, cap. 16, p. 415 - 440.
  30. ↑ 1 2 Martin Gardner . Puzzle-uri matematice și divertisment = Mathematical Puzzles and Diversions / Per. Yu. A. Danilova , ed. Da. A. Smorodinsky . - al 2-lea. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  31. ^ Weisstein , Eric W. Triangle Tiling  pe site- ul Wolfram MathWorld .
  32. ^ Weisstein , Eric W. Quadrilateral Tiling  pe site- ul Wolfram MathWorld .
  33. ↑ Michael Rao . Căutare exhaustivă a pentagoanelor convexe care plăcesc avionul Arhivat 2 august 2017 la Wayback Machine
  34. ↑ Matematicianul a găsit toate poligoanele de parchet
  35. ^ Weisstein, Eric W. HexagonTiling pe site- ul Wolfram MathWorld .  
  36. ^ Weisstein , Eric W. Tiling  pe site- ul Wolfram MathWorld .

Literatură

  • A. N. Kolmogorov . Parchete din poligoane regulate  // Kvant . - 1970. - Nr 3 .
  • Yu. A. Shashkin. Parchete  // MIF. - 1998-99. - Nr. 3 .
  • O. Mihailov. Unsprezece parchete obișnuite  // Kvant . - 1979. - Nr 2 . Arhivat din original pe 22 mai 2013.
  • David A. Klarner . Grădină de flori matematică. Culegere de articole și probleme = The Mathematical Gardner / Per. din engleza. Yu. A. Danilova ; ed., cu prefaţă. și aplicația. I. M. Yagloma . - M .: Mir, 1983. - S. 153-328. — 494 p.
  • G. S. M. Coxeter . Introducere în geometrie \u003d Introducere în geometrie / Per. din engleza. A. B. Katka și S. B. Katok; ed. B. A. Rosenfeld și I. M. Yaglom. — M .: Nauka, 1966. — 648 p.
  • Grünbaum, Branko ; Shephard, G.C. Tilings and Patterns  (nedefinit) . — W. H. Freeman and Company, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .

Link -uri