120 de celule

120 de celule
Diagrama Schlegel : proiecția ( perspectivă ) a o sută douăzeci de celule în spațiul tridimensional
Tip de	Politop obișnuit cu patru dimensiuni
Simbolul Schläfli	{5,3,3}
celule	120
chipuri	720
coaste	1200
Vârfurile	600
Figura de vârf	tetraedru regulat
Politop dublu	Șase sute de celule

O celulă obișnuită de 120 de celule sau pur și simplu o celulă de 120 de celule [1] este una dintre cele șase celule multidimensionale obișnuite din spațiul cu patru dimensiuni . Este cunoscut și sub alte denumiri: hekatonikosakhor (din altă greacă ἑκατόν - „sute”, εἴκοσι - „douăzeci” și χώρος - „loc, spațiu”), hiperdodecaedru (deoarece este un analog cu patru dimensiuni al dodecaedrului ), dodecaplexu (adică „dodecaedru complex”), polidodecaedru . Dual la celula șase sute .

Descoperit de Ludwig Schläfli la mijlocul anilor 1850 [2] . Simbolul Schläfli pentru o celulă de 120 este {5,3,3}.

Toate cele 9 forme stelate ale sale sunt policelule stelate regulate. Din cele 10 multicelule stelate obișnuite, doar una nu este o stelare de 120 de celule.

Descriere

Limitat la 120 de celule tridimensionale - dodecaedre identice . Unghiul dintre două celule adiacente este exact $144^{\circ }.$

Cele 720 de fețe bidimensionale ale sale sunt pentagoane regulate identice . Fiecare față împarte 2 celule adiacente.

Are 1200 de coaste de lungime egală. Fiecare muchie are 3 fețe și 3 celule.

Are 600 de vârfuri. Fiecare vârf are 4 muchii, 6 fețe și 4 celule.

În coordonate

O celulă de 120 poate fi plasată într-un sistem de coordonate carteziene astfel încât:

coordonatele celor 24 de vârfuri ale sale erau toate permutări posibile ale numerelor $(0;0;\pm 2;\pm 2);$

coordonate a 64 de vârfuri - prin diverse permutări $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm {\sqrt {5)))$

coordonatele a 64 de vârfuri - prin toate permutările posibile unde - raportul secțiunii de aur ; $(\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

coordonate a 64 de vârfuri - prin diverse permutări $(\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{2});$

coordonate de 96 de vârfuri - prin toate permutările posibile $(0;\pm \Phi ^{-2};\pm 1;\pm \Phi ^{2});$

coordonate de 96 de vârfuri - prin toate permutările posibile $(0;\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ;\pm {\sqrt {5}});$

coordonatele celor 192 de vârfuri rămase - prin toate permutările posibile $(\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi ;\pm 2).$

În acest caz, originea coordonatelor va fi centrul de simetrie al multicelulei, precum și centrul hipersferelor sale tridimensionale înscrise, circumscrise și semiinscrise . $(0;0;0;0)$

Proiecția unei celule rotative de 120 în spațiu 3D

Proiectii ortogonale pe un plan

Caracteristici metrice

Dacă o celulă de 120 are o margine a lungimii, atunci hipervolumul său bidimensional și respectiv hiperaria suprafeței tridimensionale sunt exprimate ca $A,$

V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\aprox 787{,}8569810a^{4} ,

S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\aprox 919{,}5742753a^{3}.

Raza hipersferei tridimensionale descrise (care trece prin toate vârfurile multicelulei) va fi atunci egală cu

R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\aprox 3{,}7024592a,

raza hipersferei semi-înscrise exterioare (atingând toate marginile la mijlocul lor) -

\rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\aprox 3{,}6685425a ,

raza hipersferei interioare semi-înscrise (atingând toate fețele în centrele lor) —

\rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)))\;a\aprox 3{, }6034146a,

raza hipersferei înscrise (atingând toate celulele în centrul lor) -

r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\aprox 3{,}4270510a.

Note

↑ D.K. Bobylev . Spațiu cu patru dimensiuni // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
↑ George Olshevsky. Hecatonicosachoron // Glosar pentru hiperspațiu.

Link -uri

Weisstein, Eric W. 120 celulă la Wolfram MathWorld .
Construiește o sută douăzeci de celule pe YouTube
Capitolele 3 și 4: A patra dimensiune . Dimensiuni . dimensiuni-math.org. Arhivat din original pe 4 martie 2015. (nedefinit)

Politopuri de bază convexe regulate și omogene în dimensiunile 2–10
Familie	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H₄
poligon regulat	triunghi dreptunghic	Pătrat	P-gon obișnuit	Hexagon obișnuit	pentagon obișnuit
Poliedru uniform	tetraedru regulat	Octaedru regulat • Cub	jumătate cub		Dodecaedru regulat • Icosaedru regulat
Multicelulă uniformă	Cinci celule	16 celule • Tesseract	Semiteseract	24 de celule	120 de celule • 600 de celule
5-politop omogen	5-simple obișnuit	5-ortoplex • 5-hipercub	5-semihipercub
6-politop omogen	6-simple obișnuit	6-ortoplex • 6-hipercub	6-semihipercub	1 22 • 2 21
7-politop omogen	7-simple obișnuit	7-ortoplex • 7-hipercub	7-semihipercub	1 32 • 2 31 • 3 21
8-politop omogen	8-simple obișnuit	8-ortoplex • 8-hipercub	8-semi-hipercub	1 42 • 2 41 • 4 21
9-politop omogen	9-simple obișnuit	9-ortoplex • 9-hipercub	9-semihipercub
10-politop omogen	10 simplex obișnuit	10-ortoplex • 10-hipercub	10-jumătate-hipercub
Uniform n - politop	Regular n - simplex	n - ortoplex • n - hipercub	n - semi-hipercub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - poliedru pentagonal
Subiecte: Familii de politopuri • Politopuri obișnuite • Lista politopilor obișnuiți și compușii acestora

Poliedre

Corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte

Simbolul Schläfli
Poligoane	{unu} {2} {3} {patru} {5} {6} {7} {opt} {9} {zece} {unsprezece} {12} {paisprezece} {cincisprezece} {17} {optsprezece} {douăzeci} {treizeci} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
poligoane stelare	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
parchete plate _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedre obișnuite și parchete sferice	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
poliedre Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
fagurii	{4,3,4}
Poliedre cu patru dimensiuni	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}