Poliedru pentagonal

Un politop pentagonal  este un politop regulat în spațiu n - dimensional construit din grupul Coxeter H n . Familia a fost numită de Harold Coxeter , deoarece poliedrul pentagonal bidimensional este un pentagon . În funcție de simbolul său Schläfli , poate fi numit dodecaedral ({5, 3 n − 2 }) sau icosaedric ({3 n − 2 , 5}).

Membrii familiei

Familia începe cu poliedre unidimensionale (segment, n = 1) și se termină cu o placare infinită a unei sfere hiperbolice cu 4 dimensiuni cu n = 5.

Există două tipuri de poliedre pentagonale. Un tip poate fi numit poliedre dodecaedrice , iar celălalt icosaedric , în funcție de părțile sale tridimensionale. Aceste două tipuri sunt duale între ele.

Poliedre dodecaedrice

Familia completă de poliedre dodecaedrice este formată din:

1. Segment , { }
2. Pentagon , {5}
3. Dodecaedru , {5, 3} (12 fețe pentagonale )
4. O sută douăzeci de fețe , {5, 3, 3} (120 de celule dodecaedrice )
5. Faguri cu 120 de celule de ordinul 3 , {5, 3, 3, 3} - placarea spațiului hiperbolic 4-dimensional

Fațetele oricărui poliedru dodecaedric sunt poliedre pentagonale dodecaedrice cu o dimensiune mai mică. Figurile lor de vârf sunt simplexe cu o dimensiune mai mică.

n	grupul Coxeter	poligon Petri (proiecție)	Nume diagrama Coxeter simbol Schläfli	fațete	Elemente
					Vârfurile	coaste	Fațete	celule	4 - fețe
unu	[ ] (comanda 2)		Segment de linie {}	2 vârfuri	2
2	[5] (comanda 10)		Pentagon {5}	5 coaste	5	5
3	[5,3] (comanda 120)		Dodecaedru {5, 3}	12 pentagoane	douăzeci	treizeci	12
patru	[5,3,3] (comanda 14400)		120 de celule {5, 3, 3}	120 de dodecaedre	600	1200	720	120
5	[5,3,3,3] (ordine ∞)		Fagure cu 120 de celule {5, 3, 3, 3}	∞ 120 de celule	∞	∞	∞	∞	∞

Poliedre icosaedrice

Familia completă de poliedre pentagonale icosaedrice este formată din:

1. Segment , { }
2. Pentagon , {5}
3. Icosaedru , {3, 5} (20 de fețe triunghiulare )
4. Șase sute de celule , {3, 3, 5} (120 de celule tetraedrice )
5. Faguri cu cinci celule de ordinul al cincilea , {3, 3, 3, 5} — placarea spațiului hiperbolic 4-dimensional (∞ fațete cu cinci celule)

Fațetele oricărui poliedr pentagonal icosaedric sunt simplexe cu o dimensiune mai mică. Figurile de vârf ale poliedrelor sunt poliedre pentagonale icosaedrice de o dimensiune mai mică.

n	grupul Coxeter	poligon Petri (proiecție)	Nume diagrama Coxeter simbol Schläfli	fațete	Elemente
					Vârfurile	coaste	Fațete	celule	4 - fețe
unu	[ ] (comanda 2)		Segment de linie {}	2 vârfuri	2
2	[5] (comanda 10)		Pentagon {5}	5 coaste	5	5
3	[5,3] (comanda 120)		icosaedru {3, 5}	20 de triunghiuri regulate	12	treizeci	douăzeci
patru	[5,3,3] (comanda 14400)		Șase sute de celule {3, 3, 5}	600 de tetraedre	120	720	1200	600
5	[5,3,3,3] (ordine ∞)		Faguri cu cinci celule de ordinul al cincilea {3, 3, 3, 5}	∞ Cinci celule	∞	∞	∞	∞	∞

Poliedre stelate și faguri înrudite

Din poliedre pentagonale, se pot forma forme stelate pentru a obține noi poliedre regulate stelate :

• În spațiul tridimensional se obțin patru poliedre Kepler-Poinsot  - { 3,5/2 }, { 5/2,3 }, { 5,5/2 } și { 5/2,5 }.
• În spațiul cu patru dimensiuni se obțin zece poliedre Schläfli-Hess : {3,5,5/2} ,{ {5/2,5,3} , {5,5/2,5} , {5,3,5/2} , {5/2,3,5} , {5/2,5,5/2} , {5,5/ 2,3} , {3,5/2,5} , {3,3,5/2} și {5/2,3,3} .
• Există patru faguri stelați obișnuiți în spațiul hiperbolic cu patru dimensiuni : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/ 2,5 } și {5,5/2,5,3} .

Note

Literatură

• HSM Coxeter . Caleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicația Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Hârtia 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
• HSM Coxeter . Politopi obișnuiți . - al 3-lea (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  292-293 . — ISBN 0-486-61480-8 .