Dodecaedru regulat

Dodecaedru regulat
( model rotativ , model 3D )
Tip de	poliedru regulat
Proprietăți	convex
Combinatorică
Elemente	12 fețe 30 muchii 20 vârfuri X  = 2
Fațete	pentagoane regulate
Configurația vârfurilor	5 3
Poliedru dublu	icosaedru regulat
Figura de vârf
Scanează
Clasificare
Notaţie	U23 , C26 , W5 _
Simbolul Schläfli	{5,3}
Simbol Wythoff	3 | 25
Diagrama Dynkin
Grupul de simetrie	I h , H 3 , [5,3], (*532)
Grup de rotație	I, [5,3] + , (532)
date cantitative
Lungimea aripioarelor
Suprafață
Volum
Unghi diedru
Unghi solid la vârf
Fișiere media la Wikimedia Commons

Dodecaedrul regulat (din altă greacă δώδεκα  - „doisprezece” și εδρον  - „față”) este una dintre cele cinci poliedre regulate posibile . Dodecaedrul este compus din douăsprezece pentagoane regulate [1] , care sunt fețele sale. Fiecare vârf al dodecaedrului este un vârf de trei pentagoane regulate. Astfel, dodecaedrul are 12 fețe (pentagonale), 30 de muchii și 20 de vârfuri (3 muchii converg în fiecare).

Istorie

Poate cel mai vechi obiect sub forma unui dodecaedru a fost găsit în nordul Italiei , lângă Padova , la sfârșitul secolului al XIX-lea, datând din anul 500 î.Hr. e. și se presupune că a fost folosit de etrusci ca zar [2] [3] .

Dodecaedrul a fost considerat în scrierile lor de oamenii de știință greci antici . Platon a comparat diverse elemente clasice cu poliedre regulate . Despre dodecaedru, Platon a scris că „... zeul său a hotărât pentru Univers și a recurs la el ca model” [4] . Euclid în propoziția 17 din cartea XIII a „ Începuturilor ” construiește un dodecaedru pe marginile unui cub [5] [6] :132-136 . Pappus din Alexandria din „Colecția matematică” se angajează în construcția unui dodecaedru înscris într-o sferă dată, dovedind pe parcurs că vârfurile dodecaedrului se află în planuri paralele [7] [6] :318-319 [8] .

Pe teritoriul mai multor țări europene au fost găsite numeroase obiecte, numite dodecaedre romane , datând din secolele II-III. n. e., al cărui scop nu este în întregime clar.

La scurt timp după apariția Cubului Rubik , în 1981, un puzzle similar a fost brevetat sub forma unui dodecaedru obișnuit - megaminx . Ca și clasicul cub Rubik, fiecare muchie are trei părți adiacente [9] . Mai târziu, în ceea ce privește cubul Rubik, au apărut astfel de puzzle-uri dodecaedrice cu patru piese la margine (gigaminx), cinci (theraminx) etc. Complexitatea și timpul de asamblare a acestora, ca și pentru cubul Rubik, crește pe măsură ce crește numărul de piese de la margine.

Formule de bază

Dacă luăm pentru lungimea muchiei , atunci aria suprafeței dodecaedrului este egală cu

Volumul dodecaedrului

Raza sferei circumscrise [10]

Raza unei sfere semiinscrise este [10]

Raza sferei înscrise [10]

Proprietăți

• Toate cele douăzeci de vârfuri ale dodecaedrului se află cinci în patru plane paralele , formând un pentagon regulat în fiecare dintre ele.
• Unghiul diedric dintre oricare două fețe dodecaedrice adiacente este arccos(−1/√5) ≈ 116,565° [10] .
• Suma unghiurilor plate la fiecare dintre cele 20 de vârfuri este 324°, unghiul solid (triedric) este arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617  steradiani .
• Un cub poate fi înscris într-un dodecaedru , astfel încât laturile cubului să fie diagonalele dodecaedrului.
• Dodecaedrul are trei stelări .
• Cinci cuburi pot fi înscrise într-un dodecaedru. Dacă înlocuim fețele pentagonale ale dodecaedrului cu stele pentagonale plate astfel încât toate muchiile dodecaedrului să dispară, atunci obținem spațiul a cinci cuburi care se intersectează. Dodecaedrul ca atare va dispărea. În locul unui poliedru închis, va apărea un sistem geometric deschis de cinci ortogonalități. Sau o intersecție simetrică a cinci spații tridimensionale.
• Cel mai apropiat plan paralel cu o față aleasă în mod arbitrar, în care există cinci vârfuri care nu aparțin feței alese, este separat de această față printr-o distanță a razei cercului circumscris acestei fețe. Iar raza cercului descris în jurul acestor cinci vârfuri este egală cu diametrul cercului înscris în oricare dintre fețe. Aceste două mărimi sunt, respectiv, și , unde este lungimea muchiei dodecaedrului.

Elemente de simetrie ale dodecaedrului

• Dodecaedrul are un centru de simetrie și 15 axe de simetrie. Fiecare dintre axe trece prin punctele medii ale muchiilor paralele opuse.
• Dodecaedrul are 15 planuri de simetrie. Oricare dintre planurile de simetrie trece în fiecare față prin vârf și mijlocul muchiei opuse.
• Grupul de rotație al dodecaedrului este notat și izomorf ( un grup alternativ de gradul 5), în timp ce grupul de simetrie completă este izomorf .

Relația cu teselațiile sferice

Un dodecaedru obișnuit induce, de asemenea, o placare a sferei cu pentagoane regulate.

Fapte interesante

• Dodecaedra Circorhegma radiolarie [11] descrisă de Ernst Haeckel în 1887 are o formă apropiată de dodecaedrul .
• În 2003 , în timp ce analizau datele de la sonda spațială WMAP , a fost înaintată o ipoteză că Universul este un spațiu Poincaré dodecaedral [12] [13] [14] .

În cultură

• Dodecaedrul este folosit ca generator de numere aleatorii (împreună cu alte oase ) în jocurile de rol de masă [15] și este desemnat d12 (zaruri - oase).
• Calendarele de masă sunt realizate sub forma unui dodecaedru din hârtie, unde fiecare dintre cele douăsprezece luni este situată pe una dintre fețe [15] .
• În jocul Pentacore lumea este prezentată sub forma acestei figuri geometrice .
• În jocurile „Sonic the Hedgehog 3” și „Sonic & Knuckles” din seria Sonic the Hedgehog , Chaos Emeralds au aspectul unui dodecaedru .
• În jocul „Destin” engramele au forma unui dodecaedru .
• În jocul „Overwatch”, personajul Sigma eliberează 2 dodecaedre în timpul atacului principal .
• Telecomandă inteligentă Nanoleaf [16] .

Vezi și

• Pentagondodecaedru  - dodecaedru neregulat
• dodecaedru rombic
• Rombicosidodecaedru
• Dodecaedre

Note

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron  : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
2. ↑ Stefano De'Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a face pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa  (italiană)  // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: diario. - 1885-86. - P. 1437-1459 . Vedeți și imaginea acestui articol de la sfârșitul volumului, pagina 709 a fișierului scanat
3. ↑ Amelia Carolina Sparavigna. Un dodecaedru etrusc. - arXiv : 1205.0706 .
4. ↑ Platon . „ Timeu ”
5. ↑ Elementele lui Euclid. Cartea XIII. Propunerea 17 . Preluat la 1 iunie 2014. Arhivat din original la 19 mai 2014. (nedefinit)
6. ↑ 1 2 Elementele lui Euclid. Cărțile XI-XV . - M. - L .: Editura de Stat de Literatură Tehnică și Teoretică, 1950.  - Pe lângă traducerea în rusă a operei lui Euclid, această ediție în comentarii conține și o traducere a propunerilor lui Pappus asupra poliedrelor obișnuite.
7. ↑ Text original în greacă veche cu traducere paralelă în latină : Liber III. Propuneri. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - T. I. - S. 156-163.
8. ↑ Roger Herz-Fischler. O istorie matematică a  numărului de aur . - Publicații Courier Dover , 2013. - P. 117-118.
9. ↑ Hort V. Puzzle-uri disperate. Megaminx este un dodecaedru complicat // Știință și viață . - 2018. - Nr. 1 . - S. 104-109 . Acest articol, printre altele, oferă un algoritm pentru asamblarea unui megaminx.
10. ↑ 1 2 3 4 Proof in: Cobb, John W. The Dodecahedron  ( 2005-2007). Data accesului: 1 iunie 2014. Arhivat din original pe 4 martie 2016.
11. ↑ În Tabelul XVII Arhivat la 7 iunie 2014 pe Wayback Machine al celui de-al patrulea volum al monografiei sale despre radiolari, este numerotat 2.
12. ↑ Faza optimă a ipotezei generalizate a spațiului dodecaedral Poincare implicată de funcția de corelare încrucișată spațială a  hărților cerului WMAP . Data accesului: 31 octombrie 2012. Arhivat din original pe 7 decembrie 2013.
13. ↑ Topologia spațiului dodecaedric ca o explicație pentru corelațiile slabe de temperatură cu unghi larg în  fundalul cosmic cu microunde . Data accesului: 31 octombrie 2012. Arhivat din original pe 7 decembrie 2013.
14. ↑ Jeffrey Weeks. Spațiul dodecaedral Poincare și misterul  fluctuațiilor dispărute . Arhivat din original pe 4 noiembrie 2012.
15. ↑ 12 A. T. White . Grafice ale grupurilor pe suprafețe: interacțiuni și modele . - Elsevier , 2001. - P. 45. - 378 p. - ISBN 0-080-50758-1 , 978-0-080-50758-3.
16. ↑ Produse » Telecomanda Nanoleaf |   SUA » Consumer IoT & LED Smart Lighting Products ? . NanoLeaf | SUA . Preluat la 25 noiembrie 2021. Arhivat din original la 25 noiembrie 2021.  (nedefinit)

Link -uri

• Wikimedia Commons are medii legate de dodecaedrul obișnuit