Poliedru regulat cu patru dimensiuni

Poliedrele cu patru dimensiuni regulate sunt analogi cu patru dimensiuni ale poliedrelor regulate în spațiul tridimensional și poligoanele regulate în plan.

Politopii obișnuiți cu 4 dimensiuni au fost descriși pentru prima dată de matematicianul elvețian Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea, deși setul complet a fost descoperit mult mai târziu.

Există șase politopi regulați convexe și zece stele , pentru un total de șaisprezece.

Istorie

Poliedrele convexe cu 4 dimensiuni au fost descrise pentru prima dată de matematicianul elvețian Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea. Schläfli a descoperit că există exact șase astfel de corpuri.

Schläfli a găsit, de asemenea, patru poliedre stelate regulate cu 4 dimensiuni : marea stea cu 120 de celule , marea stea cu 120 de celule en] , marea stea de 600 de celule și marea stea cu 120 de celule . El a sărit peste cele șase rămase pentru că nu a permis încălcări ale caracteristicii Euler pe celule sau figuri de vârfuri ( F  −  E  +  V  = 2). Aceasta exclude celulele și formele de vârf, cum ar fi {5,5/2} și {5/2,5} .

Edmund Hess (1843–1903) a publicat o listă completă în cartea sa germană Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder theory183 și echingulare polyeder theory183.

Clădire

Existența unui poliedru regulat 4-dimensional este limitată de existența poliedrelor regulate (3-dimensionale) , care formează celulele sale și leagă unghiul diedric.

astfel încât celulele să fie suprafețe tridimensionale închise.

Cele șase poliedre convexe și zece stele descrise aici sunt singurele soluții care satisfac constrângerile.

Există patru simboluri Schläfli neconvexe {p,q,r} care au celule valide {p,q} și figuri de vârf {q,r} care trec testul unghiului diedric, dar nu produc cifre finale - {3,5/ 2 ,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

4-poliedre convexe regulate

Poliedre regulate convexe 4-dimensionale sunt analogii cu patru dimensiuni ai solidelor platonice în spațiul tridimensional și poligoane regulate convexe în spațiul bidimensional.

Cinci dintre ele pot fi înțelese ca analogi apropiați ai solidelor platonice. Există o cifră suplimentară, celula douăzeci și patru , care nu are un echivalent tridimensional apropiat.

Fiecare 4-politop regulat convex este delimitat de un set de celule tridimensionale , care sunt solide platonice de același tip și dimensiune. Celulele sunt în contact unele cu altele de-a lungul marginilor, formând structura corectă.

Proprietăți

Următoarele tabele prezintă câteva proprietăți ale celor șase poliedre regulate cu 4 dimensiuni convexe. Grupurile de simetrie ale acestor 4-poliedre sunt toate grupuri Coxeter și sunt prezentate în această lucrare. Numărul care urmează după numele grupului este ordinea grupului .

Nume Imagine Familie Schläfli
Coxeter		 Vârfurile coaste Fațete celule Versh.
figura		 Dual
_ 		Grupul de simetrie

pentaedru cu cinci
celule 4-simplex		 n -simplex
(Familia A n )		 {3,3,3}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		 5 zece 10
{3}		 5
{3,3}		 {3,3} (auto-dual
)		 A 4
[3,3,3]		 120
opt
-celule tesseract
4-cub		 n -cub
(Familia B n )		 {4,3,3}
CDel nodul 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		 16 32 24
{4}		 8
{4,3}		 {3,3} 16 celule B 4
[4,3,3]		 384
șaisprezece
-celule 4-ortoplex		 n -ortoplex
(Familia B n )		 {3,3,4}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png		 opt 24 32
{3}		 16
{3,3}		 {3,4} 8 celule B 4
[4,3,3]		 384
polioctaedru octaplex cu douăzeci și patru de
celule
(pO)		 Familia F n {3,4,3}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		 24 96 96
{3}		 24
{3,4}		 {4,3} (auto-dual
)		 F4 [ 3,4,3
]		 1152

120 de celule dodecaconticoron dodecaplex
polidodecaedru
(pD)		 poliedru n-pentagonal
(familia H n )		 {5,3,3}
CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		 600 1200 720
{5}		 120
{5,3}		 {3,3} 600 de celule H 4
[5,3,3]		 14400
șase sute
de celule tetraplex
politetraedru (pT)		 poliedru n-pentagonal
(familia H n )		 {3,3,5}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		 120 720 1200
{3}		 600
{3,3}		 {3,5} 120 de celule H 4
[5,3,3]		 14400

John Conway este un susținător al denumirilor simplex, ortoplex, tesseract, octaplex sau polioctaedru (pO), dodecaplex sau polidodecaedru (pD) și tetraplex sau politetraedru (pT) [1] .

Norman Johnson este un susținător al denumirilor n-cell sau pentachoron, tesseract sau octachoron, hexadecachoron, icositetrachoron, hekatonikosaedru (sau dodecacontachoron) și hexacosichoron. [2] [3] [4]

Caracteristica Euler pentru toate poliedrele 4-dimensionale este zero. Există un analog 4-dimensional al formulei Euler pentru poliedre:

unde N k este numărul de k -fețe din poliedru (un vârf este o față cu 0, o muchie este o față cu 1 etc.).

Vizualizare

Următorul tabel prezintă câteva proiecții 2D ale poliedrelor 4D. Diverse alte vizualizări pot fi găsite în link-uri externe. Graficele diagramelor Coxeter-Dynkin sunt, de asemenea, prezentate sub simbolul Schläfli .

A4 = [3,3,3 ] BC4 = [4,3,3 ] F4 = [3,4,3 ] H4 = [5,3,3 ]
Cinci celule 8 celule 16 celule 24 de celule 120 de celule 600 de celule
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Proiectii ortografice 3D


înveliș tetraedric
(centrat pe celulă/vertex)

înveliș cubic
(centrat pe celulă)

înveliș cubic
(centrat pe celulă)

înveliș cuboctaedric
(centrat pe celulă)
Tricontaedru rombic trunchiat
(centrat pe celulă)
pentakiikosi - înveliș dodecaedral
(centrat pe celulă)
Wireframes ale diagramelor Schlegel ( proiecție în perspectivă )

centrat pe celulă
centrat pe celulă
centrat pe celulă
centrat pe celulă
centrat pe celulă
sus centrat
Wireframes de proiecții stereografice ( 3-sfere )

4-poliedre stelate regulate (Schläfli–Hess)

Schläfli-Hess 4- poliedre este o listă completă de zece 4-politopi stelați obișnuiți care se intersectează [5] . Poliedrele sunt numite după descoperitorii lor Ludwig Schläfli și Edmund Hess. Fiecare poliedru este reprezentat de simbolul Schläfli { p , q , r }, în care unul dintre numere este 5/2 . Poliedrele sunt similare cu poliedrele Kepler-Poinsot neconvexe obișnuite .

Nume

Numele date aici sunt date de John Conway și sunt extensii ale numelor lui Cayley pentru poliedrele Kepler-Poinsot - el a adăugat mare la modificatorii stelați și mari . Conway a definit următoarele operații:

  1. stelare (formarea stelelor) înlocuiește marginile cu altele mai lungi pe aceleași linii. (Exemplu - un pentagon este convertit într-o pentagramă )
  2. mărirea înlocuiește fețele cu fețe mai mari pe aceleași planuri. (Exemplu - icosaedrul crește într- un icosaedru mare )
  3. mărirea (exaltarea) înlocuiește celulele cu altele mari în aceleași spații tridimensionale. (Exemplu - 600 de celule este exaltată în marele 600 de celule )

Nume Conway pentru 10 forme de 3 poliedre 4-dimensionale cu celule regulate - pT=politetraedru (politetraedru) {3,3,5} (tetraedru șase sute de celule), pI=poliicosedron (poliicosaedru) {3,5,5/2} ( icosahedral 120-cell ) și pD=polydodecahedron (polidodecaedru) {5,3,3} (dodecaedral 120-cell ) cu prefixele modificatoare g , a și s pentru mare (mare), grand (mare) și stelat ( stelat). Stelația finală , marele polidodecaedru stelat, ar fi apoi desemnată gaspD .

Simetrie

Toate cele zece policore au [3,3,5] ( H 4 ) simetrie hexacozichore . Ele sunt generate de șase grupuri de simetrie cuplate de ordinul rațional al tetraedrelor Goursat — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2] ,5,5/ 2], [5.5/2.3] și [3.3.5/2].

Fiecare grup are 2 politopuri stea obișnuite, cu excepția a două grupuri auto-duale care conțin câte un politop fiecare. Astfel, există 4 perechi duale și 2 forme auto-duale printre cele zece poliedre stele regulate.

Proprietăți

Notă:

Celulele (poliedre tridimensionale), fețele lor (poligoane), figurile marginilor poligonale și figurile vertex poliedrice sunt reprezentate de simbolurile lor Schläfli .

Nume
Abrevierea
lui Conway
proiecție ortogonală		 Schläfli
Coxeter 		Celule
{p, q} 		Muchii
{p} 		coaste
{r} 		Vârfurile
{q, r} 		Densitate [ en χ
Icosaedric cu 120 de celule
poliicosaedru (pI) 		{3,5,5/2}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png 		120
{3,5}
 1200
{3}
 720
{5/2}
 120
{5,5/2}
 patru 480
Polidodecaedru stelat mic cu 120 de celule
( spD)

{5/2,5,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodul 1.png 		120
{5/2,5}
 720
{5/2}
 1200
{3}
 120
{5,3}
 patru −480
Polidodecaedru mare de 120 de celule
( gpD)

{5,5/2,5}
CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 		120
{5,5/2}
 720
{5}
 720
{5}
 120
{5/2,5}
 6 0
Great 120-cell
great
polydodecaedru (apD) 		{5,3,5/2}
CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png 		120
{5,3}
 720
{5}
 720
{5/2}
 120
{3,5/2}
 douăzeci 0
Marele polidodecaedru stelat cu 120 de celule
marele polidodecaedru stelat
(gspD) 		{5/2,3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodul 1.png 		120
{5/2,3}
 720
{5/2}
 720
{5}
 120
{3,5}
 douăzeci 0
Marele polidodecaedru stelat cu 120 de celule
marele polidodecaedru stelat
(
aspD) 		{5/2,5,5/2}
CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png 		120
{5/2,5}
 720
{5/2}
 720
{5/2}
 120
{5,5/2}
 66 0
Great great great 120-cell
great great polydodecaedru (gapD) 		{5.5/2.3}
CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 		120
{5,5/2}
 720
{5}
 1200
{3}
 120
{5/2,3}
 76 −480
Great icosaedral 120-cell
great
polyicosaedral
(gpI) 		{3,5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.png 		120
{3,5/2}
 1200
{3}
 720
{5}
 120
{5/2,5}
 76 480
Mare șase sute de celule
mare
politetraedru
(apT) 		{3,3,5/2}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png 		600
{3,3}
 1200
{3}
 720
{5/2}
 120
{3,5/2}
 191 0

Polidodecaedrul mare mare stelat
cu 120 de celule ( gaspD
) 		{5/2,3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nodul 1.png 		120
{5/2,3}
 720
{5/2}
 1200
{3}
 600
{3,3}
 191 0

Vezi și

Note

  1. ↑ Conway, 2008 .
  2. ↑ Johnson a propus, de asemenea, termenul de polichoron pentru denumirea de poliedre cu 4 dimensiuni ca analog al poliedrelor tridimensionale (poliedru) și al poligoanelor bidimensionale (poligon) ca derivat al cuvintelor grecești πολύ („multe”) și χώρος ( „spațiu”, „cameră”)
  3. ↑ „Convex and abstract polytopes”, Program și rezumate, MIT, 2005 . Data accesului: 23 februarie 2016. Arhivat din original pe 29 noiembrie 2014.
  4. ↑ Johnson (2015), Capitolul 11, Secțiunea 11.5 Grupuri sferice Coxeter
  5. ↑ Coxeter, Politopii stele și funcția Schläfli f{α,β,γ) p. 122 2. Politopii Schlafli-Hess

Literatură

Link -uri