Douăzeci şi patru de celule

douăzeci şi patru de celule
Diagrama Schlegel : proiecție ( perspectivă ) a unei celule de douăzeci și patru în spațiul tridimensional
Tip de	Politop obișnuit cu patru dimensiuni
Simbolul Schläfli	{3,4,3}
celule	24
chipuri	96
coaste	96
Vârfurile	24
Figura de vârf	cub
Politop dublu	El ( auto-dual )

Douăzeci și patru de celule corecte , sau pur și simplu douăzeci și patru de celule , sau ikositetrahor (din altă greacă εἴκοσι - „douăzeci”, τέτταρες - „patru” și χώρος - „loc, spațiu”), este unul dintre cele șase multi-obișnuite . celule în spațiul cu patru dimensiuni .

Descoperit de Ludwig Schläfli la mijlocul anilor 1850 [1] . Simbolul Schläfli al unei celule de douăzeci și patru este {3,4,3}.

Dual la sine; O celulă de douăzeci și patru este singurul politop regulat auto-dual de dimensiune mai mare de 2 care nu este un simplex . Acesta este motivul unicității celor douăzeci și patru de celule: spre deosebire de celelalte cinci mai multe celule obișnuite, nu are niciun analog între solidele platonice .

Descriere

Limitat la 24 de celule tridimensionale - octaedre identice . Unghiul dintre două celule adiacente este exact $120^{\circ }.$

Cele 96 de fețe bidimensionale ale sale sunt triunghiuri regulate identice . Fiecare față împarte 2 celule adiacente.

Are 96 de muchii de lungime egală, dispuse în același mod ca marginile a trei teseract cu un centru comun. Fiecare muchie are 3 fețe și 3 celule.

Are 24 de vârfuri, dispuse în același mod ca vârfurile a trei celule de șaisprezece cu un centru comun. Fiecare vârf are 8 muchii, 12 fețe și 6 celule.

O celulă de douăzeci și patru poate fi privită ca o celulă de șaisprezece trunchiată complet .

O celulă de douăzeci și patru de celule poate fi asamblată din două teseracte egale prin tăierea uneia dintre ele în 8 piramide cubice identice , ale căror baze sunt 8 celule ale teseractului, iar vârfurile coincid cu centrul său și apoi atașând aceste piramide la 8. celule cubice ale altui teseract. În spațiul tridimensional, într-un mod similar, este posibil să asamblați un dodecaedru rombic din două cuburi egale - ceea ce, totuși, nu este corect .

În coordonate

Prima modalitate de localizare

O celulă de douăzeci și patru poate fi plasată într-un sistem de coordonate carteziene, astfel încât 8 dintre vârfurile sale să aibă coordonate (aceste vârfuri sunt situate în același mod ca vârfurile unei celule de șaisprezece ), iar restul de 16 vârfuri sunt coordonate (sunt localizate în același mod ca vârfurile teseractelor ; în plus, cele 8 dintre ele, dintre ale căror coordonate un număr impar de negative, formează vârfurile unei alte șaisprezece celule, iar celelalte 8 formează vârfurile celei de-a treia celule de șaisprezece ). $(\pm 2;0;0;0),$ $(0;\pm 2;0;0),$ $(0;0;\pm 2;0),$ $(0;0;0;\pm 2)$ $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm 1)$

În acest caz, muchiile vor conecta acele vârfuri pentru care toate cele patru coordonate diferă prin - sau una dintre coordonate diferă prin și restul coincid. $unu$ $2,$

Originea coordonatelor va fi centrul de simetrie al celor douăzeci și patru de celule, precum și centrul hipersferelor sale tridimensionale înscrise, circumscrise și semiinscrise . $(0;0;0;0)$

A doua modalitate de localizare

În plus, o celulă de douăzeci și patru poate fi plasată astfel încât coordonatele tuturor celor 24 de vârfuri ale sale să fie toate permutări posibile ale numerelor (aceste puncte sunt centrele celor 24 de celule ale multicelulei descrise în secțiunea anterioară). $(\pm 1;\pm 1;0;0)$

În acest caz, muchiile vor conecta acele vârfuri pentru care oricare două coordonate diferă și celelalte două coincid. $unu,$

Centrul multicelulei va fi din nou originea.

Proiectii ortogonale pe un plan

Caracteristici metrice

Dacă o celulă de douăzeci și patru are o margine de lungime, atunci hipervolumul ei cu patru dimensiuni și, respectiv, hiperaria suprafeței tridimensionale sunt exprimate ca $A,$

V_{4}=2a^{4}=2{,}0000000a^{4},

S_{3}=8{\sqrt {2}}a^{3}\aprox 11{,}3137085a^{3}.

Raza hipersferei tridimensionale descrise (care trece prin toate vârfurile multicelulei) va fi atunci egală cu

R=a=1{,}0000000a,

raza hipersferei semi-înscrise exterioare (atingând toate marginile la mijlocul lor) -

\rho _{1}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\aprox 0{,}8660254a,

raza hipersferei interioare semi-înscrise (atingând toate fețele în centrele lor) —

\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\aprox 0{,}8164966a,

raza hipersferei înscrise (atingând toate celulele în centrul lor) -

r={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\aprox 0{,}7071068a.

Umplerea spațiului

Douăzeci și patru de celule pot pava spațiu cu patru dimensiuni fără goluri și suprapuneri.

Note

↑ George Olshevsky. Icositetrachoron // Glosar pentru hiperspațiu.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Douăzeci și patru de celule la Wolfram MathWorld .

Politopuri de bază convexe regulate și omogene în dimensiunile 2–10
Familie	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H₄
poligon regulat	triunghi dreptunghic	Pătrat	P-gon obișnuit	Hexagon obișnuit	pentagon obișnuit
Poliedru uniform	tetraedru regulat	Octaedru regulat • Cub	jumătate cub		Dodecaedru regulat • Icosaedru regulat
Multicelulă uniformă	Cinci celule	16 celule • Tesseract	Semiteseract	24 de celule	120 de celule • 600 de celule
5-politop omogen	5-simple obișnuit	5-ortoplex • 5-hipercub	5-semihipercub
6-politop omogen	6-simple obișnuit	6-ortoplex • 6-hipercub	6-semihipercub	1 22 • 2 21
7-politop omogen	7-simple obișnuit	7-ortoplex • 7-hipercub	7-semihipercub	1 32 • 2 31 • 3 21
8-politop omogen	8-simple obișnuit	8-ortoplex • 8-hipercub	8-semi-hipercub	1 42 • 2 41 • 4 21
9-politop omogen	9-simple obișnuit	9-ortoplex • 9-hipercub	9-semihipercub
10-politop omogen	10 simplex obișnuit	10-ortoplex • 10-hipercub	10-jumătate-hipercub
Uniform n - politop	Regular n - simplex	n - ortoplex • n - hipercub	n - semi-hipercub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - poliedru pentagonal
Subiecte: Familii de politopuri • Politopuri obișnuite • Lista politopilor obișnuiți și compușii acestora

Poliedre

Corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte

Simbolul Schläfli
Poligoane	{unu} {2} {3} {patru} {5} {6} {7} {opt} {9} {zece} {unsprezece} {12} {paisprezece} {cincisprezece} {17} {optsprezece} {douăzeci} {treizeci} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
poligoane stelare	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
parchete plate _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedre obișnuite și parchete sferice	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
poliedre Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
fagurii	{4,3,4}
Poliedre cu patru dimensiuni	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}