Octaedru

Octaedru regulat

( model rotativ )

Tip de

poliedru regulat

Combinatorică

Elemente

8 fețe
12 muchii
6 vârfuri

X = 2

Fațete

triunghiuri regulate

Configurația vârfurilor

4.4.4

Poliedru dublu

cub

Figura de vârf

Scanează

Clasificare

Notaţie

Simbolul Schläfli

$\{3,4\}$
$r\{3,3\}$ sau $\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$

Simbol Wythoff

4 | 2 3

Diagrama Dynkin

Grupul de simetrie

O_{h}

Grup de rotație

O

date cantitative

Unghi diedru

\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\aprox 109,5^{\circ }

Unghi solid la vârf

2\pi -8\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {3)}}\right)

\aproximativ 1,35935

mier

Fișiere media la Wikimedia Commons

Octaedrul ( greacă οκτάεδρον din οκτώ „opt” + έδρα „bază”) este un poliedru cu opt fețe.

Octaedrul regulat este unul dintre cele cinci poliedre regulate convexe [1] , așa-numitele solide platonice ; fețele sale sunt opt triunghiuri echilaterale . octaedru regulat -

dual la un cub ;
trunchierea completă a tetraedrului ;
bipiramidă pătrată în oricare dintre cele trei direcții ortogonale ;
antiprismă triunghiulară în oricare dintre cele patru direcții;
minge tridimensională în metrica blocurilor orașului .

Un octaedru este o versiune tridimensională a conceptului mai general de hiperoctaedru .

Octaedru regulat

Un octaedru obișnuit are 8 fețe triunghiulare, 12 muchii, 6 vârfuri și 4 muchii se întâlnesc la fiecare vârf.

Dimensiuni

Dacă lungimea muchiei octaedrului este a , atunci raza sferei circumscrise în jurul octaedrului este:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \aproximativ 0,7071067 \cdot a

raza unei sfere înscrise într-un octaedru poate fi calculată prin formula:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\aprox 0,4082482\cdot a .

unghi diedru : , unde . $\alpha = 2\phi \aprox 109,47^\circ$ $\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})$

Raza unei sfere semiinscrise care atinge toate marginile este

r_m = \frac{a}{2} = 0,5\cdot a

Proiecții ortografice

Octaedrul are patru proiecții ortogonale speciale , centrate de o muchie, un vârf, o față și o față normală. Al doilea și al treilea caz corespund planurilor Coxeter B 2 și A 2 .

Proiecții ortografice

Centrat	margine	Normal la fata	culmea	margine
Imagine
Simetria proiectivă	[2]	[2]	[patru]	[6]

Placare sferică

Un octaedru poate fi reprezentat ca o placă sferică și proiectat pe un plan folosind o proiecție stereografică . Această proiecție este conformă , păstrând unghiurile, dar nu și lungimile sau suprafața. Segmentele de pe sferă sunt mapate la arce de cerc pe plan.

proiecție ortogonală	Proiecție stereografică
	triunghiular centrat

Coordonate carteziene

Un octaedru cu o lungime a muchiei poate fi plasat la origine, astfel încât vârfurile sale să se afle pe axele de coordonate. Coordonatele carteziene ale vârfurilor vor fi atunci ${\sqrt {2}}$

(±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

În sistemul de coordonate dreptunghiulare x - y - z , octaedrul centrat în punctul ( a , b , c ) și raza r este mulțimea tuturor punctelor ( x , y , z ) astfel încât

\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.

Suprafață și volum

Suprafața totală a unui octaedru regulat cu lungimea muchiei a este

S=2a^2\sqrt{3} \aprox 3,46410162a^2

Volumul unui octaedru ( V ) se calculează prin formula:

V=\begin{matrice}{1\over3}\end{matrice}\sqrt{2}a^3 \aprox 0,471404521a^3

Astfel, volumul unui octaedru este de patru ori mai mare decât volumul unui tetraedru cu aceeași lungime a muchiei, în timp ce aria suprafeței este de două ori mai mare (deoarece suprafața este formată din 8 triunghiuri, în timp ce tetraedrul are patru).

Dacă octaedrul este întins pentru a satisface egalitatea:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

formulele pentru suprafață și volum se transformă în:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}

V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

În plus, tensorul momentelor de inerție ale octaedrului întins va fi egal cu:

I = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) ) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2) \end{bmatrix}

Se reduce la ecuația pentru un octaedru regulat atunci când: $x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Legături geometrice

Partea internă (comună) a configurației a două tetraedre duale este un octaedru, iar această configurație în sine este numită octaedru stelat ( latină: stella octangula ). Configurația este singura stelare a octaedrului. În consecință, un octaedru obișnuit este rezultatul tăierii dintr-un tetraedru regulat a patru tetraedre regulate cu jumătate din lungimea marginii (adică o trunchiere completă a tetraedrului). Vârfurile octaedrului se află la mijlocul marginilor tetraedrului, iar octaedrul este înrudit cu tetraedrul în același mod în care cuboctaedrul și icosidodecaedrul sunt legate de restul solidelor platonice. Este posibil să se împartă muchiile octaedrului în raport cu raportul de aur pentru a determina vârfurile icosaedrului . Pentru a face acest lucru, plasați vectorii pe margini, astfel încât toate fețele să fie înconjurate de cicluri. Apoi împărțim fiecare margine în raportul de aur de-a lungul vectorilor. Punctele rezultate sunt vârfurile icosaedrului.

Octaedrele și tetraedrele pot fi intercalate pentru a construi faguri uniformi ai vârfurilor, marginilor și feței, pe care Fuller le-a numit pachetul de octeți . Aceștia sunt singurii faguri care permit stivuirea obișnuită într-un cub și sunt unul dintre cele 28 de tipuri de faguri convexi uniformi .

Octaedrul este unic printre solidele platonice prin faptul că singur are un număr par de fețe la fiecare vârf. În plus, este singurul membru al acestui grup care are planuri de simetrie care nu intersectează nicio față.

Folosind terminologia standard pentru poliedre Johnson , octaedrul poate fi numit o bipiramidă pătrată . Trunchierea a două vârfuri opuse are ca rezultat o bipiramidă trunchiată .

Octaedrul este 4-conectat . Aceasta înseamnă că patru vârfuri trebuie eliminate pentru a le deconecta pe cele rămase. Este unul dintre cele patru poliedre simple bine acoperite cu 4 conexiuni, ceea ce înseamnă că toate cele mai mari seturi de vârfuri independente au aceeași dimensiune. Celelalte trei poliedre cu această proprietate sunt bipiramida pentagonală , biclinoidul snub și un poliedru neregulat cu 12 vârfuri și 20 de fețe triunghiulare [2] .

Un octaedru poate fi înscris într-un tetraedru, în plus, patru din cele opt fețe ale octaedrului vor fi aliniate cu cele patru fețe ale tetraedrului, toate cele șase vârfuri ale octaedrului vor fi aliniate cu centrele celor șase muchii ale tetraedrului.
Un octaedru poate fi înscris într-un cub, în plus, toate cele șase vârfuri ale octaedrului vor fi aliniate cu centrele celor șase fețe ale cubului.
Un cub poate fi înscris într-un octaedru, în plus, toate cele opt vârfuri ale cubului vor fi situate în centrele celor opt fețe ale octaedrului.

Colorare și simetrie uniformă

Există 3 colorări uniforme octaedrului, numite după culorile feței lor: 1212, 1112, 1111.

Grupul de simetrie al octaedrului este O h cu ordinul 48, un grup hiperoctaedric tridimensional . Subgrupurile din acest grup includ D 3d (ordinul 12), grupul de simetrie antiprismă triunghiulară , D 4h (ordinul 16), grupul de simetrie bipiramidă pătrată și Td (ordinul 24), grupul de simetrie tetraedric complet trunchiat . Aceste simetrii pot fi accentuate prin colorarea diferită a fețelor.

Nume	Octaedru	Tetraedru trunchiat complet (Tetratetraedru)	Antiprismă triunghiulară	Bipiramidă pătrată	Bipiramida rombica
Desen (colorarea feței)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Diagrama Coxeter		=
Simbolul Schläfli	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	ft{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Simbol Wythoff	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Simetrie	O h , [4,3], (*432)	T d , [3,3], (*332)	D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (*422)	D 2h , [2,2], (*222)
Ordin	48	24	12 6	16	opt

Alezoare

Există unsprezece variante ale dezvoltării octaedrului [3] .

Dualitate

Octaedrul este dual cubului .

Tăiați

Un tetrahemihexaedru omogen este o fațetare cu simetrie tetraedrică a unui octaedru regulat, păstrând aranjarea muchiilor și vârfurilor . Croiala are patru fațete triunghiulare și 3 pătrate centrale.

Octaedru	tetrahemihexaedru

Octaedre neregulate

Următoarele poliedre sunt echivalente combinatoriu cu un octaedru obișnuit. Toate au șase vârfuri, opt fețe triunghiulare și douăsprezece muchii, ceea ce corespunde unu la unu parametrilor unui octaedru regulat.

Antiprisme triunghiulare - două fețe sunt triunghiuri echilaterale situate în planuri paralele și având o axă comună de simetrie. Cele șase triunghiuri rămase sunt isoscele.
Bipiramide patruunghiulare , în care cel puțin un patrulater ecuatorial se află într-un plan. Un octaedru regulat este un caz special în care toate cele trei patrulatere sunt pătrate plate.
Politop Schoenhardt , un politop neconvex care nu poate fi spart în tetraedre fără introducerea de noi vârfuri.

Alte octaedre convexe

În general, orice poliedru cu opt fețe poate fi numit octaedru. Un octaedru obișnuit are 6 vârfuri și 12 muchii, numărul minim pentru un octaedru. Octogoane neregulate pot avea până la 12 vârfuri și 18 muchii [3] [4] . Există 257 de octaedre convexe distincte topologic , excluzând copiile în oglindă [3] . În special, există 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 octaedre cu 6 până la 12 vârfuri, respectiv [5] [6] . (Două poliedre sunt „topologic distincte” dacă au aranjamente diferite în interior ale fețelor și vârfurilor, astfel încât să nu fie posibilă transformarea unui corp în altul prin simpla schimbare a lungimii muchiilor sau a unghiurilor dintre muchii sau fețe.)

Câteva octagoane neregulate notabile:

Prismă hexagonală : Două fețe sunt hexagoane regulate paralele, șase pătrate conectează perechile corespunzătoare de laturi ale hexagoanelor.
Piramida heptagonală : O față este un heptagon (de obicei regulat), iar celelalte șapte fețe sunt triunghiuri (de obicei isoscele). Este imposibil de realizat ca toate fețele triunghiulare să fie echilaterale.
Tetraedru trunchiat : Cele patru fețe ale tetraedrului sunt trunchiate în hexagoane regulate și trei fețe triunghiulare echilaterale suplimentare sunt formate în locul vârfurilor trunchiate.
Trapezoedrul patrulater : Opt fețe sunt congruente cu deltoizii .

Octaedre în lumea fizică

Octaedre în natură

Multe cristale cubice naturale au forma unui octaedru. Acestea sunt diamante , sulfat de aluminiu-potasiu , clorură de sodiu , perovskit , olivină , fluorit , spinel .
Golurile interatomice (pori) din structurile strânse de metale pure ( nichel , cupru , magneziu , titan , lantan și multe altele) și compuși ionici (clorură de sodiu, sfalerit , wurtzit etc.) au forma unui octaedru.
Plăcile din aliajul kamacit în meteoriții octaedriți sunt situate paralel cu cele opt fețe ale octaedrului.

Octaedre în artă și cultură

În jocuri , zarul octaedru este cunoscut sub numele de „d8”.
Dacă fiecare muchie a octaedrului este înlocuită cu un rezistor de un ohm , rezistența totală între vârfurile opuse va fi de 1/2 ohm, iar între vârfurile adiacente - 5/12 ohm [7] .
Pe vârfurile unui octaedru pot fi aranjate șase note muzicale, astfel încât fiecare muchie să reprezinte o pereche de consoane, iar fiecare față să reprezinte un triplu de consoane.
Ariciul antitanc are forma a trei diagonale ale unui octaedru.

Ligamentul tetraedric

Cadrul tetraedrelor și octaedrelor repetate a fost inventat de Fuller în anii 1950 și este cunoscut sub numele de cadru spațial este considerat a fi cea mai puternică structură care rezistă la tensiunile fasciculului în consolă .

Politopuri înrudite

Un octaedru obișnuit poate fi mărit la un tetraedru prin adăugarea a patru tetraedre pe fețe alternante. Adăugarea de tetraedre la toate cele opt fețe formează un octaedru stelat .

tetraedru	octaedru stelat

Octaedrul aparține familiei poliedrelor uniforme legate de cub.

Poliedre octaedrice uniforme

Simetrie : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Poliedre duble

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Este, de asemenea, unul dintre cele mai simple exemple de hipersimplex , un poliedru format dintr-o anumită intersecție a unui hipercub cu un hiperplan .

Octaedrul este inclus într-o succesiune de poliedre cu simbolul Schläfli {3, n } extinzându-se în planul hiperbolic .

* n 32 de simetrii de plăci obișnuite: 3 n sau {3, n }

sferic				euclidiană	Hiperbola compactă.		Para -compact	Hiperbolic necompact

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3∞ _	3 12i	39i _	36i _	3 3i

Tetratetraedru

Un octaedru obișnuit poate fi privit ca un tetraedru complet trunchiat și poate fi numit tetratetraedru . Acest lucru poate fi arătat cu un model în două culori. În această colorare, octaedrul are simetrie tetraedrică .

Comparația secvenței de trunchiere a unui tetraedru și a figurii sale duale:

Familia de poliedre tetraedrice uniforme

Simetrie : [3,3] , (*332)							[3,3] + , (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Poliedre duble

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Solidele de mai sus pot fi înțelese ca felii ortogonale pe diagonala lungă a teseractului . Dacă această diagonală este plasată vertical cu o înălțime de 1, atunci primele cinci secțiuni din partea de sus se vor afla la înălțimile r , 3/8, 1/2, 5/8 și s , unde r este orice număr din interval (0 ,1/4] și s — orice număr din intervalul [3/4,1).

Octaedrul ca tetratetraedru există într-o succesiune de simetrii de poliedre cvasiregulate și tiling cu configurație de vârf (3. n ) 2 , trecând de la tilings pe sferă în planul euclidian și apoi în planul hiperbolic. În notația orbifold de simetrie * n 32, toate aceste plăci sunt construcții Wythoff în interiorul domeniului fundamental de simetrie cu puncte generatoare la unghiul drept al domeniului [8] [9] .

* n 32 de simetrii orbifold ale plăcilor cvasi-regulate : (3. n ) 2

Clădire	sferic			euclidiană	hiperbolic
Clădire	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Cifre cvasi -regulate
Vertex	(3.3) 2	(3.4) 2	(3,5) 2	(3.6) 2	(3,7) 2	(3,8) 2	(3.∞) 2

Antiprismă triunghiulară

Ca antiprismă triunghiulară , octaedrul este legat de familia de simetrie diedrică hexagonală.

Poliedre sferice diedrice uniforme hexagonale

Simetrie : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2	sr{6,2}	s{2,6}
Poliedrele lor duale

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26 _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Familia de antiprisme omogene n .3.3.3

Configurare	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	... ∞.3.3.3
Poliedru
Mozaic

Bipiramidă pătrată

Familia bipiramidală

Configurare	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	... V∞.4.4
Poliedru
Mozaic

Vezi și

Note

↑ Selivanov D. F. ,. Corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010 , p. 894–912.
↑ 1 2 3 Weisstein, Eric W. Octahedron (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Steven Dutch. Enumerarea poliedrelor (link indisponibil) . Consultat la 8 noiembrie 2015. Arhivat din original la 10 octombrie 2011. (nedefinit)
↑ Numărarea poliedrelor . Consultat la 8 noiembrie 2015. Arhivat din original la 6 mai 2016. (nedefinit)
↑ Copie arhivată . Preluat la 14 august 2016. Arhivat din original la 17 noiembrie 2014. (nedefinit)
↑ Klein, 2002 , p. 633–649.
↑ Williams, 1979 .
↑ Two Dimensional Symmetry Mutations de Daniel Huson

Literatură

Marea Enciclopedie Sovietică
Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. Pe triunghiuri bine acoperite. III // Matematică aplicată discretă. - 2010. - T. 158 , nr. 8 . - doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 .
Douglas J. Klein. Reguli de sumă rezistență-distanță // Croatica Chemica Acta. - 2002. - T. 75 , nr. 2 . Arhivat din original pe 10 iunie 2007.
R. Williams. Capitolul 5 Caleidoscopul, Secțiunea: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . — New York: Dover Publications , 1979.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Octahedron (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Klitzing Polytopes, poliedre uniforme convexe 3D
Rețea imprimabilă editabilă a unui octaedru cu vedere 3D interactivă
Model de hârtie al octaedrului
KJM MacLean, O analiză geometrică a celor cinci solide platonice și a altor poliedre semi-regulare
Poliedre uniforme
Poliedre de realitate virtuală Enciclopedia poliedrelor
- Notația Conway pentru poliedre Încercați: dP4

Poliedre

corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte

Simbolul Schläfli
Poligoane	{unu} {2} {3} {patru} {5} {6} {7} {opt} {9} {zece} {unsprezece} {12} {paisprezece} {cincisprezece} {17} {optsprezece} {douăzeci} {treizeci} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
poligoane stelare	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
parchete plate _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedre obișnuite și parchete sferice	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
poliedre Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
fagurii	{4,3,4}
Poliedre cu patru dimensiuni	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}